Question

В пространстве R3 заданы точки А (1, -1, 1), В (0, 1, -1), C(1, 1, 0). Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Найдем координаты векторов АВ и АС

АВ=(-1; 2; -2) , АС=(0; 2,; -1).

Найдем их векторное произведение

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&2&-2\\0&2&-1\end{array}\right] =(2; -1; -2)$

Площадь S треугольника АВС равна половине длины этого векторного произведения

$S^2 = 5, \\S=\sqrt{5}$

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC в трехмерном пространстве R3, можно воспользоваться формулой, которая использует векторное произведение векторов.

Пусть вектора AB и AC соответственно задают стороны треугольника AB и AC:

AB = B - A = (0 - 1, 1 - (-1), (-1) - 1) = (-1, 2, -2) AC = C - A = (1 - 1, 1 - (-1), 0 - 1) = (0, 2, -1)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC:

N = AB × AC

где N - нормальный вектор к плоскости треугольника.

N = (-1, 2, -2) × (0, 2, -1)

Для нахождения векторного произведения, можно воспользоваться определителем:

N = ((2 * -(-1)) - (2 * (-2)), (-1 * 0) - (2 * (-2)), ((-1) * 2) - (2 * 0)) N = (0, 4, -2)

Теперь найдем длину вектора N:

|N| = √(0^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(0 + 16 + 4) = √20 ≈ 4.47

Площадь треугольника ABC равна половине произведения длины вектора N на длину стороны AB:

Площадь = (1/2) * |N| * |AB| = (1/2) * 4.47 * √((-1)^2 + 2^2 + (-2)^2) = 2.235 * √9 = 2.235 * 3 = 6.705

Таким образом, площадь треугольника ABC равна приблизительно 6.705 квадратных единиц (площадных единиц в R3).