Question

Число 2000 + a и 999 – b делятся на 11, докажите, что число a + b делится на 11. СРОЧНО! НУЖЕН ПОЛНЫЙ ОТВЕТ!

Answer 1

$a+b=2000+a-(999-b)-2000+999=2000+a-(999-b)-1001$

Слагаемые (2000+a) и (999-b) делятся на 11 согласно условию; слагаемое 1001 тоже делится на 11, следовательно, число (a+b) кратно 11.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение:

Условие гласит, что числа 2000 + a и 999 - b делятся на 11, что можно записать следующим образом:

(2000 + a) % 11 = 0 ... (1) (999 - b) % 11 = 0 ... (2)

Для начала, рассмотрим уравнение (1):

(2000 + a) % 11 = 0

Это значит, что существует целое число k1 такое, что:

2000 + a = 11 * k1 ... (3)

Теперь рассмотрим уравнение (2):

(999 - b) % 11 = 0

Это значит, что существует целое число k2 такое, что:

999 - b = 11 * k2 ... (4)

Теперь объединим уравнения (3) и (4), чтобы выразить a + b:

a + b = (11 * k1 - 2000) + (999 - 11 * k2) a + b = 11 * (k1 - k2) + 999 - 2000 a + b = 11 * (k1 - k2) - 1001

Обозначим (k1 - k2) как k3, где k3 также является целым числом, так как разность целых чисел также является целым числом:

a + b = 11 * k3 - 1001

Теперь докажем, что a + b делится на 11, то есть a + b % 11 = 0:

(a + b) % 11 = (11 * k3 - 1001) % 11

Для того чтобы доказать деление на 11, достаточно показать, что (11 * k3) % 11 и (-1001) % 11 равны нулю:

(11 * k3) % 11 = 0 ... (5) (-1001) % 11 = 0 ... (6)

Умножение любого числа на 11 даст кратное 11 число, поэтому (11 * k3) % 11 всегда будет равно 0 (кратно 11). Также (-1001) % 11 = 0, так как -1001 делится на 11 без остатка.

Таким образом, уравнение (a + b) % 11 = (11 * k3 - 1001) % 11 сводится к (0 - 0) % 11, что равно нулю:

(a + b) % 11 = 0

Итак, мы доказали, что если числа 2000 + a и 999 - b делятся на 11, то число a + b также делится на 11.