Question

В клетчатом прямоугольнике 4x5 нужно поставить 5 крестиков так, чтобы в каждой строке и каждом столбце был хотя бы один крестик. Сколько способов это сделать ?

Answer 1

6 способов ............

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом подсчёта сочетаний с повторениями. Нам нужно разместить 5 крестиков в клетчатом прямоугольнике 4x5, с условием, что в каждой строке и каждом столбце должен быть хотя бы один крестик.

Для начала, поставим в каждую строку по одному крестику. Это означает, что у нас осталось всего 1 крестик для размещения в каждой строке.

Теперь, посмотрим на количество способов размещения 1 крестика в каждой из 4 строк. Для первой строки у нас есть 5 вариантов, для второй строки еще 5 вариантов, для третьей 5 вариантов и для четвертой 5 вариантов. Таким образом, у нас есть 5 * 5 * 5 * 5 = 625 способов разместить 1 крестик в каждой строке.

Теперь осталось разместить оставшийся 5-й крестик. У нас уже есть гарантия, что в каждой строке есть по одному крестику, поэтому нам нужно лишь разместить крестик в каждом из 5 столбцов. У нас есть 4 варианта размещения крестика в первом столбце, 4 варианта во втором столбце, 4 варианта в третьем столбце, 4 варианта в четвертом столбце и 4 варианта в пятом столбце. Итого, у нас есть 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 способов разместить оставшийся крестик.

Теперь мы можем перемножить количество способов размещения крестиков в каждом случае, чтобы получить общее количество способов разместить 5 крестиков так, чтобы в каждой строке и каждом столбце был хотя бы один крестик:

625 (размещение 1 крестика в каждой строке) * 1024 (размещение оставшегося крестика в столбцах) = 640,000.

Таким образом, есть 640,000 способов разместить 5 крестиков в клетчатом прямоугольнике 4x5 с условием, что в каждой строке и каждом столбце будет хотя бы один крестик.