Question

на сторонах параллелограмма взяты точки так, что площадь четырёх угольника в 2 раза меньше площади параллелограмма. Доказать, что хотя бы одна иэ диагоналей четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим параллелограмм и четырёхугольник, образованный четырьмя точками на его сторонах.

Пусть A, B, C и D - вершины параллелограмма, а M, N, P и Q - точки на его сторонах, такие, что четырёхугольник MNQP образован ими. Пусть S_1 - площадь параллелограмма, а S_2 - площадь четырёхугольника MNQP.

Так как площадь четырёхугольника MNQP в 2 раза меньше площади параллелограмма, то:

S_2 = 0.5 * S_1

Площадь четырёхугольника можно разбить на два треугольника, например, треугольникы MNP и QMN:

S_2 = S(MNP) + S(QMN)

Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то:

S(MNP) = 0.5 * S_1 S(QMN) = 0.5 * S_1

Теперь обратим внимание на треугольник MNP. Он образован точками на сторонах параллелограмма, а значит, вершины треугольника MNP и точки M, N, P и соответствующие вершины параллелограмма (A, B, C) образуют параллельные отрезки.

То есть, отрезки MN || AB, NP || BC и MP || AC.

Теперь рассмотрим треугольник QMN. Заметим, что вершины треугольника QMN и точки Q, N, M и соответствующие вершины параллелограмма (C, D, A) образуют также параллельные отрезки.

То есть, отрезки QN || CD, NM || DA и MQ || AC.

Таким образом, мы видим, что все три стороны треугольника QMN параллельны соответствующим сторонам параллелограмма ABCD. То есть, хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника MNQP параллельна стороне параллелограмма ABCD.

Таким образом, мы доказали утверждение: если площадь четырёхугольника MNQP в 2 раза меньше площади параллелограмма ABCD, то хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма.