Question

четырёхугольник АВСД со сторонами АВ=2 и СД=5 вписан в окружность. Диагонали АС и ВД пересекаются в точке К, причём угол АКВ=60 градусам. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников и равнобедренных треугольников.

Дано:

• Сторона АВ = 2
• Сторона СД = 5
• Угол АКВ = 60°

Так как АВСД — вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180°:

Угол А + Угол С = 180° Угол В + Угол Д = 180°

Так как угол В = Угол АКВ = 60°, то угол Д = 180° - 60° = 120°.

Теперь заметим, что треугольник АКВ — равнобедренный, так как угол В = Угол АКВ = 60°, и сторона АВ = 2. Значит, сторона АК = ВК = 2 (по определению равнобедренного треугольника).

Теперь рассмотрим треугольник АКС:

Угол К = 180° - Угол АКВ - Угол А = 180° - 60° - 90° = 30°.

Так как СК = 5 и АК = 2, то у нас есть противоположные стороны и угол между ними. Для этого треугольника можно применить закон синусов:

sin(Угол К) / СК = sin(Угол АКС) / АК

sin(30°) / 5 = sin(Угол АКС) / 2

sin(30°) = 2 * sin(Угол АКС)

Угол АКС = arcsin(sin(30°) / 2) ≈ 30°.

Теперь, так как угол АКС = 30°, то угол КСВ = 180° - 30° = 150°.

Так как ВК = 2 и КС = 5, то для треугольника ВКС:

sin(Угол ВКС) / ВК = sin(Угол КСВ) / КС

sin(Угол ВКС) / 2 = sin(150°) / 5

sin(Угол ВКС) = 2 * sin(150°) / 5 ≈ 0.773

Угол ВКС ≈ arcsin(0.773) ≈ 51.54°.

Теперь мы можем найти центральный угол ВОС, где О — центр описанной окружности четырехугольника АВСД:

Угол ВОС = 360° - 2 * Угол ВКС ≈ 360° - 2 * 51.54° ≈ 256.92°.

Теперь найдем радиус R описанной окружности, используя формулу для центрального угла:

Угол ВОС = 2 * arcsin(Диаметр / (2 * R))

Угол ВОС = 2 * arcsin(5 / (2 * R))

256.92° = 2 * arcsin(5 / (2 * R))

arcsin(5 / (2 * R)) = 256.92° / 2

arcsin(5 / (2 * R)) ≈ 128.46°

Теперь найдем значение sin(128.46°) и найдем радиус R:

sin(128.46°) ≈ 0.832

5 / (2 * R) ≈ 0.832

Р = 5 / (2 * 0.832) ≈ 5.99

Таким образом, радиус окружности, описанной около четырехугольника АВСД, примерно равен 5.99 (округляем до двух знаков после запятой).