Question

Найти производную: y(x) = ln(sinx) + 1/2 * ctg^2 x

Answer 1

Если появятся какие-нибудь вопросы — задавайте.

Если моё решение оказалось полезным, смело отмечайте его как «лучший ответ».

Answer 2

Y'=ln'(sinx)+1/2*(ctg²x)'=

(1/sinx)*sin'x+1/2*2*ctgx*ctg'x=
cosx/sinx-ctgx/sin²x

Answer 3

Для нахождения производной функции y(x) = ln(sinx) + 1/2 * ctg^2 x по переменной x воспользуемся правилами дифференцирования для элементарных функций.

1. Начнем с первого слагаемого ln(sinx): По правилу дифференцирования сложной функции (chain rule), производная ln(u) по x, где u = sinx, равна (1/u) * u', где u' - производная функции sinx по x. Таким образом, производная первого слагаемого равна:

(dy/dx) = (1/sinx) * cosx

2. Теперь возьмем второе слагаемое 1/2 * ctg^2 x: Здесь используем тот факт, что ctg(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x). Таким образом, ctg^2(x) = (cos^2(x))/(sin^2(x)).

Производная второго слагаемого: (dy/dx) = 1/2 * 2 * (cos(x)/sin^2(x)) * sin(x) * (cos(x)/sin(x)) = (cos^2(x))/(sin^2(x))

Теперь найденные производные складываем:

(dy/dx) = (1/sinx) * cosx + (cos^2(x))/(sin^2(x))

Для упрощения выражения можно объединить дроби:

(dy/dx) = (cosx * sin^2(x) + cos^3(x))/(sin^3(x))

Таким образом, производная функции y(x) равна (cosx * sin^2(x) + cos^3(x))/(sin^3(x)).