Question

Записать двойной интеграл от функции f(x;y) по указанной области Д в виде повторных интегралов двумя способами. Сделать чертеж интегрирования. Д- паралелограмм с вершинами (1;2) (2;4) (2;7) (1;5)

Answer 1

Уравнения прямых, которые ограничивают параллелограмм:

$A(1,2)\; ,\; B(2,4):\; \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{4-2}\; \to \; \; y=2x\; ;\\\\C(2,7)\; ,\; D(1,5):\; \; \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-5}{7-5}\; \to \; \; y=2x+3\; ;\\\\x=1\; ,\; \; x=2\; .\\\\\\\iint \limits _{D}f(x,y)dx\, dy=\int \limits _1^2dx\int\limits^{2x+3}_{2x}f(x,y)\, dy=\\\\=\int\limits^4_2\, dy\int\limits^{y/2}_{1}\, f(x,y)dx+\int\limits^5_{4}\, dy\int\limits^1_2f(x,y)\, dx+\int\limits^7_5\, dy\int\limits^{\frac{y-3}{2}}_{2}\, dx\; .$

Answer 2

Для начала, давайте определим область интегрирования Д - параллелограмм с вершинами (1, 2), (2, 4), (2, 7) и (1, 5). Для удобства обозначим его вершины следующим образом:

A(1, 2) B(2, 4) D(1, 5) C(2, 7)

Теперь запишем двойной интеграл от функции f(x; y) по области Д в виде повторных интегралов двумя способами.

Способ 1: Для первого способа будем интегрировать сначала по переменной x, а затем по переменной y.

1. Интегрирование по переменной x: При интегрировании по x, x будет меняться от x = 1 до x = 2.

2. Интегрирование по переменной y: При интегрировании по y, y будет меняться от y = у(x) до y = у(x), где у(x) - это у-координата нижней границы области Д для каждого значения x.

Таким образом, первый способ будет выглядеть следующим образом:

∬(Д) f(x, y) dA = ∫(1 to 2) ∫(у(x) to у(x)) f(x, y) dy dx

Способ 2: Для второго способа будем интегрировать сначала по переменной y, а затем по переменной x.

1. Интегрирование по переменной y: При интегрировании по y, y будет меняться от y = 2 до y = 7.

2. Интегрирование по переменной x: При интегрировании по x, x будет меняться от x = х(y) до x = х(y), где х(y) - это х-координата левой и правой границы области Д для каждого значения y.

Таким образом, второй способ будет выглядеть следующим образом:

∬(Д) f(x, y) dA = ∫(2 to 7) ∫(x(y) to x(y)) f(x, y) dx dy

Для построения чертежа интегрирования необходимо знать функцию f(x; y), так как она определяет поведение нашей поверхности. Без этой информации точные значения границ и форма интегрирования на чертеже не могут быть определены.