Question

Найдите все первообразные функции f (x) = x^3-3x^2+x-1

Answer 1

$F(x)=\frac{x^4}{4} -x^3+\frac{x^2}{2} -x$

Answer 2

Для нахождения всех первообразных функций f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1, нужно найти функции F(x), производная которых равна данной функции f(x).

Общий подход заключается в том, чтобы найти интеграл каждого слагаемого функции f(x). Затем соберем эти интегралы вместе, добавив постоянную интегрирования (C), чтобы получить все возможные первообразные функции.

1. Интеграл от x^3: ∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

2. Интеграл от -3x^2: ∫ (-3x^2) dx = -x^3 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

3. Интеграл от x: ∫ x dx = (x^2)/2 + C3, где C3 - произвольная постоянная.

4. Интеграл от -1: ∫ (-1) dx = -x + C4, где C4 - произвольная постоянная.

Теперь объединим все интегралы:

F(x) = (x^4)/4 - x^3/2 + x - x + (C1 + C2 + C3 + C4)

Упростим:

F(x) = (x^4)/4 - x^3/2 + C, где C = C1 + C2 + C3 + C4 - произвольная постоянная.

Таким образом, все первообразные функции f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 имеют вид F(x) = (x^4)/4 - x^3/2 + C, где C - произвольная постоянная.