Question

Найдите область определения функции: f(x) = √2x^2 - x - 1. (Все под корнем)

Answer 1

Ответ:

х ∈ (-∞;-0,5] ∪ [1;+∞)

Пошаговое объяснение:

f(x) = √2x² - x - 1

2х² - х - 1 ≥ 0

Разложим уравнение на множители по формуле a(x-x₁)(x - x₂) = 0

x₁ = 1

x₂ = -0,5

2(x-1)(x+0,5) = 0

(x-1)(x+0,5) = 0

Решим неравенство методом интервалов и получим, что

х ∈ (-∞;-0,5] ∪ [1;+∞)

Answer 2

Для определения области определения функции f(x) = √(2x^2 - x - 1) нужно обратить внимание на то, что значение под корнем должно быть неотрицательным, чтобы корень был действительным числом. Это означает, что выражение 2x^2 - x - 1 должно быть больше или равно нулю:

2x^2 - x - 1 ≥ 0

Для решения этого неравенства, можно воспользоваться факторизацией, квадратным уравнением или графическим методом.

Способ 1: Факторизация

2x^2 - x - 1 ≥ 0

(2x + 1)(x - 1) ≥ 0

Теперь найдем значения x, при которых выражение (2x + 1)(x - 1) равно нулю:

2x + 1 = 0 => x = -1/2

x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, у нас есть три интервала для области определения:

1. x < -1/2
2. -1/2 ≤ x ≤ 1
3. x > 1

Способ 2: Графический метод

Можно построить график функции y = 2x^2 - x - 1 и определить значения x, при которых y неотрицательно:

График будет представлять параболу, направленную вверх. Область, где график находится выше или на уровне оси x (y ≥ 0), будет соответствовать области определения.

Способ 3: Квадратное уравнение

Можно решить квадратное уравнение 2x^2 - x - 1 = 0, чтобы найти корни и затем проанализировать знаки между корнями и вне них.

D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

x = (-(-1) ± √9) / 4

x = (1 ± 3) / 4

Таким образом, корни уравнения: x = 1 и x = -1/2.

Мы уже знаем, что у нас три интервала для области определения:

1. x < -1/2
2. -1/2 ≤ x ≤ 1
3. x > 1

Таким образом, область определения функции f(x) = √(2x^2 - x - 1) будет:

Область определения: x ∈ (-∞, -1/2] ∪ [1, +∞)