Question

Решите с подробным пояснением, пожалуйста. пропустила тему, не могу разобраться lim(sqrt(2*x^2+2*x+6)-sqrt(2*x^2-7*x-6) as x->infinity)

Answer 1

Ответ: 9√2/4

Пошаговое объяснение:

Умножим и разделим наше выражение на

√(2x²+2x+6)+√(2x²-7x-6). Получим

{[√(2x²+2x+6)]²-[√(2x²-7x-6)]²}/

[√(2x²+2x+6)+√(2x²-7x-6)] =

(2x²+2x+6-2x²+7x+6)/

[√(2x²+2x+6)+√(2x²-7x-6)]=

(9x+12)/[√(2x²+2x+6)+√(2x²-7x-6)]

Теперь разделим числитель и знаменатель на x

(9+12/x)/[(√2+2/x +6/x²)+(√2-7/x - 6/x²)]

При x стремящемся к бесконечности получаем

(9+0)/[(√2+0+0)+(√2-0-0)]=9/2√2 =9√2/4

Answer 2

Для решения этого предела, давайте начнем с упрощения выражения внутри корней и применим алгебраические методы для облегчения вычислений.

Имеем:

lim (sqrt(2x^2 + 2x + 6) - sqrt(2x^2 - 7x - 6)) при x -> ∞

Чтобы упростить это выражение, давайте преобразуем его к более удобному виду. Для этого вынесем из-под корней общие множители:

sqrt(2x^2 + 2x + 6) = sqrt(2*(x^2 + x + 3)) = sqrt(2*(x^2 + x + 1 + 2)) = sqrt(2*(x^2 + x + 1)) * sqrt(2) sqrt(2x^2 - 7x - 6) = sqrt(2*(x^2 - 7/2x - 3)) = sqrt(2(x^2 - 7/2x + 49/4 - 49/4 - 3)) = sqrt(2((x - 7/4)^2 - 61/4)) = sqrt(2)*sqrt((x - 7/4)^2 - 61/4)

Теперь выражение принимает вид:

lim (sqrt(2*(x^2 + x + 1)) - sqrt(2)*sqrt((x - 7/4)^2 - 61/4)) при x -> ∞

Теперь давайте рассмотрим предел каждого из корней по отдельности.

1. Предел первого корня:

lim (sqrt(2*(x^2 + x + 1))) при x -> ∞

При x -> ∞, наиболее существенными становятся члены x^2 в числителе и знаменателе. Таким образом, можем пренебречь менее существенными членами (x и 1) и получить:

lim (sqrt(2*(x^2 + x + 1))) при x -> ∞ ≈ lim (sqrt(2*x^2)) при x -> ∞ = lim (sqrt(2)*x) при x -> ∞ = ∞

2. Предел второго корня:

lim (sqrt(2)*sqrt((x - 7/4)^2 - 61/4)) при x -> ∞

Тут у нас важным становится член (x - 7/4)^2, а остальные - менее значимые, так как x^2 растет быстрее, чем линейные члены. Таким образом, можем пренебречь менее существенными членами и получить:

lim (sqrt(2)*sqrt((x - 7/4)^2 - 61/4)) при x -> ∞ ≈ lim (sqrt(2)sqrt((x - 7/4)^2)) при x -> ∞ = lim (sqrt(2)(x - 7/4)) при x -> ∞ = ∞

Теперь у нас остается разность двух бесконечностей:

∞ - ∞

Такие выражения неоднозначны, и предел может быть любым числом или бесконечностью. В данном случае предел не существует, и ответ можно записать как "неопределен" или "бесконечность минус бесконечность".