Question

Разложите двучлен (√3 - 2)^4 по биному Ньютона

Answer 1

Ответ:

97 - 56√3

Пошаговое объяснение:

    Формуле бинома Ньютона для 4-ой степени выглядит так:

(а + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴      у нас  a = √3;  b = (-2)

(√3 - 2)⁴ = (√3)⁴ + 4*(√3)³*(-2) + 6*(√3)²*(-2)² + 4*(√3)*(-2)³ + (-2)⁴ = 3*3 - 4*3*(√3)*2 + 6*3*4 - 4*(√3)*8 + 16 = 9 - 24√3 + 72 - 32√3 + 16 = 97 - 56√3

Answer 2

Для разложения двучлена ($\sqrt{3} - 2)^4$ по биному Ньютона, мы будем использовать формулу бинома Ньютона:

$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $a = \sqrt{3}$, $b = 2$ и $n = 4$.

Теперь, нам нужно вычислить коэффициенты биномиального разложения $\binom{n}{k}$:

$\binom{4}{0} = 1$,

$\binom{4}{1} = 4$,

$\binom{4}{2} = 6$,

$\binom{4}{3} = 4$,

$\binom{4}{4} = 1$.

Теперь, используя формулу, мы можем вычислить разложение:

$(\sqrt{3} - 2)^4 = \binom{4}{0} \cdot \sqrt{3}^4 \cdot 2^0 + \binom{4}{1} \cdot \sqrt{3}^3 \cdot 2^1 + \binom{4}{2} \cdot \sqrt{3}^2 \cdot 2^2 + \binom{4}{3} \cdot \sqrt{3}^1 \cdot 2^3 + \binom{4}{4} \cdot \sqrt{3}^0 \cdot 2^4$.

Теперь подсчитаем каждый член:

$\binom{4}{0} \cdot \sqrt{3}^4 \cdot 2^0 = 1 \cdot 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$,

$\binom{4}{1} \cdot \sqrt{3}^3 \cdot 2^1 = 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 24\sqrt{3}$,

$\binom{4}{2} \cdot \sqrt{3}^2 \cdot 2^2 = 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72$,

$\binom{4}{3} \cdot \sqrt{3}^1 \cdot 2^3 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}$