Question

Исследовать функцию y=(x-1)/(x^2 +2) и посторить график. Не могу решить, помогите, пожалуйста!

Answer 1

$y = x$
$y = \frac{x - 1}{{x}^{2} + 2 }$
Корень (0, 0)
Пересечение с осью ординат (0, 2)

Корень (1, 0)
Пересечение с осью ординат (0, - 1/2)

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию и построить график!

Функция дана: y = (x - 1) / (x^2 + 2)

Для начала, давайте исследуем эту функцию на её основные характеристики:

1. Область определения (Domain): Функция определена для всех действительных чисел x, так как в знаменателе нет нулевого значения и не существует деления на ноль.

2. Асимптоты: Для нахождения вертикальных асимптот, нужно решить уравнение: x^2 + 2 = 0, но так как у этого уравнения нет действительных корней, вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: При x стремящемся к бесконечности, y также стремится к нулю. lim (x → ∞) (x - 1) / (x^2 + 2) = 0

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции (y = 0), решим уравнение: (x - 1) = 0 x = 1 Таким образом, у функции есть один нуль при x = 1.

4. Знаки функции: Чтобы определить интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, рассмотрим знак числителя и знаменателя.

a) Знак числителя (x - 1): x - 1 > 0 при x > 1 (положительный знак) x - 1 < 0 при x < 1 (отрицательный знак)

b) Знак знаменателя (x^2 + 2): x^2 + 2 > 0 при всех реальных значениях x, так как это квадрат с положительным коэффициентом при x^2.

Таким образом, функция y = (x - 1) / (x^2 + 2) положительна для x < 1 и x > 1, и отрицательна для всех значений x, не лежащих в этом интервале.

5. Точки пересечения с осями: a) Пересечение с осью Y (когда x = 0): y = (0 - 1) / (0^2 + 2) = -1 / 2

b) Пересечение с осью X (когда y = 0): Мы уже ранее нашли, что у функции есть нуль при x = 1.

Теперь давайте построим график функции, учитывая все эти характеристики:

На графике видно, что у функции есть вертикальная асимптота x = 1 и горизонтальная асимптота y = 0 при x → ±∞. Она пересекает ось Y в точке (0, -1/2) и имеет ноль при x = 1.

Мы надеемся, что это поможет вам лучше понять данную функцию и её график. Если у вас есть ещё вопросы или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!