Question

Z=2x^3+2y^3-6xy+5 найти экстремум помогите пожалуйста решить

Answer 1

Ответ:

Z=2x^3+2y^3-6xy+5

Пошаговое объяснение:

Z=2x^3+2y^3-6xy+5

Answer 2

Для нахождения экстремума функции Z(x, y) нужно найти частные производные по x и y и приравнять их к нулю, чтобы найти критические точки. Затем используем тест на вторые производные, чтобы определить, является ли точка экстремумом. Воспользуемся правилами дифференцирования:

1. Найдем частные производные по x и y: ∂Z/∂x = 6x^2 - 6y ∂Z/∂y = 6y^2 - 6x

2. Приравняем производные к нулю и решим систему уравнений: 6x^2 - 6y = 0 6y^2 - 6x = 0

Давайте решим первое уравнение относительно y: 6x^2 - 6y = 0 6y = 6x^2 y = x^2

Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение: 6y^2 - 6x = 0 6(x^2)^2 - 6x = 0 6x^4 - 6x = 0

Теперь факторизуем уравнение: 6x(x^3 - 1) = 0

Таким образом, получаем два корня:

1. x = 0
2. x^3 - 1 = 0

Решим второе уравнение относительно x: x^3 - 1 = 0 x^3 = 1 x = 1

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение y = x^2:

1. x = 0 => y = 0^2 = 0
2. x = 1 => y = 1^2 = 1

Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 0) и (1, 1).

3. Тест на вторые производные: Чтобы определить тип экстремума в найденных критических точках, рассмотрим вторые производные функции Z(x, y):

∂^2Z/∂x^2 = 12x ∂^2Z/∂y^2 = 12y ∂^2Z/∂x∂y = -6 ∂^2Z/∂y∂x = -6

Теперь вычислим вторые производные в каждой критической точке:

В точке (0, 0): ∂^2Z/∂x^2 = 12 * 0 = 0 ∂^2Z/∂y^2 = 12 * 0 = 0 ∂^2Z/∂x∂y = -6 ∂^2Z/∂y∂x = -6

В точке (1, 1): ∂^2Z/∂x^2 = 12 * 1 = 12 ∂^2Z/∂y^2 = 12 * 1 = 12 ∂^2Z/∂x∂y = -6 ∂^2Z/∂y∂x = -6

4. Анализ результатов: Теперь определяем тип экстремума:

• Если в критической точке (x, y) выполняется условие: ∂^2Z/∂x^2 > 0 и ∂^2Z/∂y^2 > 0, то это точка минимума.
• Если в критической точке (x, y) выполняется условие: ∂^2Z/∂x^2 < 0 и ∂^2Z/∂y^2 < 0, то это точка максимума.
• Если в критической точке (x, y) выполняется условие: ∂^2Z/∂x^2 и ∂^2Z/∂y^2 имеют разные знаки, то это точка седловой точки.

Подставим значения из точек (0, 0) и (1, 1) во вторые производные:

В точке (0, 0): ∂^2Z/∂x^2 = 0 (не даёт информации о типе экстремума) ∂^2Z/∂y^2 = 0 (не даёт информации о типе экстремума)

В точке (1, 1): ∂^2Z/∂x^2 = 12 > 0 ∂^2Z/∂y^2 = 12 > 0

Так как оба вторых производных положительны в точке (1, 1), то это точка минимума.

Итак, найденные критические точки функции Z(x, y) и их тип экстремума:

1. Точка (0, 0) - тип экстремума не определен.
2. Точка (1, 1) - точка минимума.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь анализ двух критических точек. Возможно, что функция Z(x, y) имеет другие экстремумы или особые точки, которые требуется также проверить.