Question

Решите систему уравнений: log3/4 y^1/3 - (1/3)^-3x = -9 { log2/4 y + (1/3)^-x = 27-9^x+1

Answer 1

$x = - 1$

$y = 0$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, давайте обозначим два уравнения системы как (1) и (2), соответственно:

(1) log(3/4)(y^(1/3)) - (1/3)^(-3x) = -9 (2) log(2/4)(y) + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Попробуем решить систему методом подстановки. Сначала решим уравнение (1):

(1) log(3/4)(y^(1/3)) - (1/3)^(-3x) = -9

Для удобства заменим логарифмы на экспоненты:

(3/4)^(log(3/4)(y^(1/3))) - (1/3)^(-3x) = -9

Теперь сосредоточимся на первом слагаемом. Заметим, что (3/4)^(log(3/4)(y^(1/3))) равно y^(1/3), поскольку логарифмическая функция и обратная к ней стирают друг друга.

Таким образом, уравнение (1) преобразуется:

y^(1/3) - (1/3)^(-3x) = -9

Теперь решим уравнение (2):

(2) log(2/4)(y) + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Снова заменим логарифм на экспоненту:

(2/4)^(log(2/4)(y)) + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Заметим, что (2/4)^(log(2/4)(y)) равно y, так как логарифмическая функция и ее обратная уничтожают друг друга.

Теперь уравнение (2) преобразуется:

y + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Теперь у нас есть два уравнения:

(1) y^(1/3) - (1/3)^(-3x) = -9 (2) y + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Мы можем решить уравнение (1) относительно y и подставить его в уравнение (2):

Из уравнения (1):

y^(1/3) = -9 + (1/3)^(-3x)

Возведем обе стороны в степень 3:

y = (-9 + (1/3)^(-3x))^3

Теперь подставим это значение y в уравнение (2):

(-9 + (1/3)^(-3x))^3 + (1/3)^(-x) = 27 - 9^(x+1)

Теперь у нас есть уравнение только с переменной x. Решим его численно или графически для получения значения x. После того, как найдено значение x, можно будет найти значение y, используя одно из исходных уравнений.

Обратите внимание, что данная система уравнений не имеет аналитического решения и требует численного метода для нахождения приближенного решения.