Question

Приведите уравнение кривых второго порядка к каноническому виду и построить заданные кривые: 2x^2+12xy-7y^2+20=0не используйте онлайн калькуляторы. через синус штрих и косинус штрих

Answer 1

Решение приложено к снимку:

Answer 2

Чтобы привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Исключить член смешанной степени (xy) путем поворота системы координат.
2. Произвести замену переменных, чтобы убрать члены смешанной степени.
3. Привести уравнение канонической формы.

Итак, у нас дано уравнение: 2x^2 + 12xy - 7y^2 + 20 = 0.

Шаг 1: Исключение члена смешанной степени.

Мы хотим найти угол поворота, при котором член смешанной степени будет исчезать. Это достигается следующим образом:

1. Найдем угол α, при котором уравнение не содержит члена смешанной степени xy: tg(2α) = (коэффициент при xy) / (коэффициент при x^2 - коэффициент при y^2) tg(2α) = 12 / (2 - (-7)) = 12 / 9 = 4/3

2. Теперь найдем α: α = 0.5 * arctg(4/3) ≈ 53.13°

Шаг 2: Замена переменных.

Мы заменим переменные x и y на новые переменные u и v следующим образом:

x = u * cos(α) - v * sin(α) y = u * sin(α) + v * cos(α)

Шаг 3: Приведение уравнения канонической формы.

1. Подставим замену переменных в исходное уравнение: 2(u * cos(α) - v * sin(α))^2 + 12(u * cos(α) - v * sin(α))(u * sin(α) + v * cos(α)) - 7(u * sin(α) + v * cos(α))^2 + 20 = 0

2. Упростим уравнение: 2(u^2 * cos^2(α) - 2 * u * v * cos(α) * sin(α) + v^2 * sin^2(α)) + 12(u^2 * cos(α) * sin(α) + u * v * (cos^2(α) - sin^2(α)) + v^2 * cos(α) * sin(α)) - 7(u^2 * sin^2(α) + 2 * u * v * cos(α) * sin(α) + v^2 * cos^2(α)) + 20 = 0

3. Объединим подобные члены: (2 * cos^2(α) - 12 * sin(α) * cos(α) - 7 * sin^2(α)) * u^2 + (4 * sin(α) * cos(α) - 4 * sin(α) * cos(α)) * u * v + (2 * sin^2(α) + 12 * sin(α) * cos(α) - 7 * cos^2(α)) * v^2 + 20 = 0

4. Значения sin(α) и cos(α) мы знаем: sin(α) ≈ 0.7986 cos(α) ≈ 0.6018

5. Подставим значения и приведем уравнение к канонической форме: (2 * 0.6018^2 - 12 * 0.7986 * 0.6018 - 7 * 0.7986^2) * u^2 + 0 * u * v + (2 * 0.7986^2 + 12 * 0.7986 * 0.6018 - 7 * 0.6018^2) * v^2 + 20 = 0

   (2 * 0.3615 - 12 * 0.4810 - 7 * 0.6370) * u^2 + (2 * 0.6370 + 12 * 0.4810 - 7 * 0.3615) * v^2 + 20 = 0

   (0.7231 - 5.7720 - 4.4590) * u^2 + (1.2740 + 5.7720 - 2.5290) * v^2 + 20 = 0

   (-10.5080) * u^2 + 4.5170 * v^2 + 20 = 0

   Теперь у нас есть уравнение кривой второго порядка в каноническом виде: -10.5080 * u^2 + 4.5170 * v^2 + 20 = 0

   Обратимся к стандартным уравнениям кривых второго порядка:

   Для гиперболы: (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1, где a и b - полуоси гиперболы.

   Для эллипса: (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1, где a и b - полуоси эллипса.

   Для параболы: y^2 = 4ax, где a - фокусное расстояние параболы.

   Так как в данном уравнении коэффициент перед u^2 отрицательный, то у нас гипербола.

   Ответ: Заданная кривая - гипербола.