Question

Розвязати диферінційні рівняння dy/dx+2y=e^x

Answer 1

$\dfrac{dy}{dx}+2y=e^x$

Умножим левую и правую части уравнения на $e^{2x}$, получим

$e^{2x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{3x}\\ \\ e^{2x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)\cdot y=e^{3x}$

Как видно, в левой части уравнения это производная произведения двух функций, т.е.

$\dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\cdot y\right)=e^{3x}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\displaystyle e^{2x}\cdot y=\int e^{3x}dx\\ \\ e^{2x}\cdot y=\dfrac{1}{3}\cdot e^{3x}+C\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{e^x}{3}+Ce^{-2x}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения.

Answer 2

Для розв'язання диференціального рівняння першого порядку dy/dx + 2y = e^x, ми спробуємо застосувати метод інтегруючого множника.

1. Запишемо дане диференціальне рівняння у стандартному вигляді: dy/dx + 2y = e^x.

2. Знайдемо інтегруючий множник. Інтегруючий множник (μ) множиться на обидві частини рівняння, щоб зробити ліву частину диференціалом від произведення μ і y, тим самим зробити рівняння точним.

   Інтегруючий множник (μ) можна знайти за допомогою наступної формули: μ = e^(∫P dx), де P - коефіцієнт при dy/dx у стандартному вигляді диференціального рівняння.

   В нашому випадку, P = 2, тому: μ = e^(∫2 dx) = e^(2x).

3. Помножимо обидві частини диференціального рівняння на інтегруючий множник (μ = e^(2x)): e^(2x) * (dy/dx) + 2e^(2x) * y = e^(3x).

4. Тепер спробуємо виразити ліву частину як похідну від добутку μ і y: d/dx (e^(2x) * y) = e^(3x).

5. Інтегруємо обидві частини відносно x: ∫d/dx (e^(2x) * y) dx = ∫e^(3x) dx.

6. Знайдемо праву частину інтегралу: ∫e^(3x) dx = (1/3) * e^(3x) + C₁, де C₁ - довільна стала.

7. Виразимо ліву частину як інтеграл: e^(2x) * y = (1/3) * e^(3x) + C₁.

8. Виразимо y: y = (1/3) * e^(x) + C₁ * e^(-2x).

Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння dy/dx + 2y = e^x має вигляд: y = (1/3) * e^(x) + C₁ * e^(-2x), де C₁ - довільна стала.