Question

Скорость тела движущегося вдоль координатной прямой изменяется с течением времени по закону v(t)=6t^2-30t+36. Найдите длину пути, пройденного телом за промежуток времени от t1=0 до t2=4

Answer 1

Дано:  V(t) = 6*t² - 30*t + 36 - скорость.

b = 0, a = 4 - интервал времени.

Найти: S(t) = ? - путь.

Пошаговое объяснение:

Путь - интеграл (первообразная) функции скорости.

Советую:

1. Под интегралом формулу скорости записываем в обратном порядке.

2. Интеграл записываем в виде суммы дробей. Алгоритм интегрирования: в числителе степень увеличивается на единицу и становится знаменателем дроби.

Интегрируем.

$S(t)=\int\limits^4_0 {(36-30t+6t^2)}\,dx=\frac{36t}{1}-\frac{30t^2}{2}+\frac{6t^3}{3}$

Вычисляем на границах интегрирования.

S(t) = 36*t - 15*t² + 2*t³ - переписали формулу интеграла.

S(4) = 36*4 - 15*16 + 2*64 = 144-240+128 = 32

S(0) = 0.

S = S(4) - S(0) = 32 - путь - ответ.

Answer 2

Для нахождения длины пути, пройденного телом, нужно проинтегрировать модуль его скорости от начального времени t1 до конечного времени t2:

Длина пути (S) = ∫[t1, t2] |v(t)| dt

Где v(t) - это скорость тела в момент времени t.

В данном случае у нас дано уравнение скорости v(t) = 6t^2 - 30t + 36, и мы должны найти длину пути за промежуток времени от t1 = 0 до t2 = 4:

S = ∫[0, 4] |6t^2 - 30t + 36| dt

Для упрощения расчетов, разобьем интеграл на два отдельных интеграла на интервалах, где скорость положительна и отрицательна:

На интервале [0, 2], 6t^2 - 30t + 36 > 0 На интервале [2, 4], 6t^2 - 30t + 36 < 0

Таким образом, на каждом из интервалов, мы можем интегрировать скорость без модуля.

1. Интеграл на интервале [0, 2]:

∫[0, 2] (6t^2 - 30t + 36) dt

Интегрируем каждый член по отдельности:

∫(6t^2) dt - ∫(30t) dt + ∫(36) dt = 2t^3 - 15t^2 + 36t | [0, 2] = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) - (2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0)) = 16 - 60 + 72 - 0 = 28

2. Интеграл на интервале [2, 4]:

∫[2, 4] -(6t^2 - 30t + 36) dt

Так как здесь скорость отрицательна, мы поменяем знак каждого члена скорости:

∫[-(6t^2 - 30t + 36)] dt

∫(-6t^2 + 30t - 36) dt

Интегрируем каждый член по отдельности:

-∫(6t^2) dt + ∫(30t) dt - ∫(36) dt = -2t^3 + 15t^2 - 36t | [2, 4] = -2(4)^3 + 15(4)^2 - 36(4) - ( -2(2)^3 + 15(2)^2 - 36(2) ) = -128 + 240 - 144 - (-8 + 60 - 72) = -128 + 240 - 144 + 8 - 60 + 72 = -12

Теперь найдем общую длину пути S, сложив результаты на обоих интервалах:

S = |∫[0, 2] (6t^2 - 30t + 36) dt| + |∫[2, 4] -(6t^2 - 30t + 36) dt| S = |28| + |-12| S = 28 + 12 S = 40

Таким образом, длина пути, пройденного телом за промежуток времени от t1 = 0 до t2 = 4, равна 40 единицам длины.