Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x^2 - 6x+5, y=11-x​

Answer 1

.......................

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями $y=x^2 - 6x + 5$ та $y=11-x$, спочатку знайдемо точки їх перетину.

1. Поставимо вирази $y$ у рівняннях рівними один одному та розв'яжемо їх, щоб знайти точки перетину:

$x^2 - 6x + 5 = 11 - x$

2. Перепишемо рівняння у квадратну форму:

$x^2 - 6x + x - 5 - 11 = 0$

3. Скоротимо:

$x^2 - 5x - 16 = 0$

4. Розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 64}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$

Таким чином, ми отримали дві значення $x$, де лінії перетинаються. Тепер знайдемо відповідні значення $y$:

$y = 11 - x$

1. $y = 11 - \frac{5 + \sqrt{89}}{2}$
2. $y = 11 - \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$

Тепер маємо координати обох точок перетину: $\left(\frac{5 + \sqrt{89}}{2}, 11 - \frac{5 + \sqrt{89}}{2}\right)$ та $\left(\frac{5 - \sqrt{89}}{2}, 11 - \frac{5 - \sqrt{89}}{2}\right)$.

Щоб знайти площу фігури між цими лініями, потрібно обчислити відповідний інтеграл. Адже площа під кривою $y = x^2 - 6x + 5$ більше, ніж площа під прямою $y = 11 - x$. Таким чином, площу фігури можна обчислити як різницю між інтегралами від $y = x^2 - 6x + 5$ та $y = 11 - x$ на відрізку від $x = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ до $x = \frac{5 + \sqrt{89}}{2}$:

$\text{Площа фігури} = \int_{\frac{5 - \sqrt{89}}{2}}^{\frac{5 + \sqrt{89}}{2}} (x^2 - 6x + 5) dx - \int_{\frac{5 - \sqrt{89}}{2}}^{\frac{5 + \sqrt{89}}{2}} (11 - x) dx$