Question

Помогите решить задачу по геометрии) Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС описана окружность S. Высота АН треугольника продолжена до пересечения с окружностью S в точке D. Найдите площадь треугольника АВС, если АН=9 см, AD=13 см.

Answer 1

Ответ: 67,5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся свойствами описанной окружности и равнобедренного треугольника.

У равнобедренного треугольника АВС (с основанием АС) высота АН является медианой, биссектрисой и высотой одновременно. Таким образом, треугольник АНС - равнобедренный.

Также, у равнобедренного треугольника, медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины угла при основании, делят этот угол на три равные части.

Обозначим точку пересечения высоты АН с окружностью S за точку D. Поскольку треугольник АНС равнобедренный, то точка D является серединой стороны АС.

Теперь давайте построим отрезок CD и соединим точки B и D. Получим треугольник CBD, в котором сторона BD является медианой, биссектрисой и высотой.

Так как медиана делит сторону пополам, то AD = 13 см, и DB = DC = 13/2 = 6.5 см.

Теперь обратим внимание на угол BCD. Как было отмечено ранее, сторона BD является биссектрисой угла BCD, а значит, угол BCD в два раза больше угла ABD.

Так как треугольник АBD - равнобедренный (все боковые стороны равны), то угол ABD равен углу ADB. Обозначим угол BCD за α, тогда углы ABD и ADB равны α/2.

Теперь обратим внимание на треугольник ABD. В нем у нас есть два угла: α/2 и 90 градусов, и сумма всех углов треугольника равна 180 градусов.

Таким образом, α/2 + 90 + α/2 = 180 α + 90 = 180 α = 180 - 90 α = 90 градусов

Теперь, когда мы знаем, что угол BCD равен 90 градусов, а сторона BD и DC равны 6.5 см, можем вычислить площадь треугольника BCD:

Площадь BCD = (BD * CD) / 2 Площадь BCD = (6.5 * 6.5) / 2 Площадь BCD = 42.25 / 2 Площадь BCD = 21.125 кв. см

Так как треугольник АВС образован путем удвоения площади треугольника BCD, то площадь треугольника АВС равна:

Площадь АВС = 2 * Площадь BCD Площадь АВС = 2 * 21.125 Площадь АВС = 42.25 кв. см

Таким образом, площадь треугольника АВС составляет 42.25 квадратных сантиметра.