Question

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение (a-2)x^2-4(a+1)x+2a+2=0 имеет хотя бы один корень, меньший 2.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Тут нам надо рассмотреть 4 случая.

Один корень меньше -2 и ветви вверх

Один корень меньше -2  и ветви вниз

Оба корня меньше -2 и рассмотреть соответственно с разных направлений ветвей

Для того, чтобы оба корня были меньше -2 достаточно выполнение условий:

1) Ветви вверх, Дискриминант больше либо равен нулю, значения в точке -2 строго больше 0 и вершина меньше -2

2) Ветви вниз, Д>=0, ф(-2)<0, вершина так же меньше -2

Все эти условия я находил отдельно на черновике, ничего сложного нет, предлагаю вам самим попробовать посчитать, слишком долго и нудно переписывать. Под формулировкой оба корня меньше -2 мы рассматриваем случай когда Д=0 потому что в этом случае мы имеем два совпадающих корня!!! А не один корень. Если будут вопросы задавайте

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, меньший 2, дискриминант должен быть больше или равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении у нас a = (a-2), b = -4(a+1), и c = 2a+2. Теперь можно записать неравенство для дискриминанта:

D ≥ 0 (-4(a+1))^2 - 4(a-2)(2a+2) ≥ 0 16(a+1)^2 - 4(a-2)(2a+2) ≥ 0 16(a^2 + 2a + 1) - 4(2a^2 - 4a + 4) ≥ 0 16a^2 + 32a + 16 - 8a^2 + 16a - 16 ≥ 0 8a^2 + 48a ≥ 0 8a(a + 6) ≥ 0

Теперь найдем значения параметра a, при которых неравенство выполнено:

1. a + 6 > 0 и 8a > 0 a > -6 и a > 0 a > 0 (так как a должно быть больше -6 и больше 0)

2. a + 6 < 0 и 8a < 0 a < -6 и a < 0 a < -6 (так как a должно быть меньше -6 и меньше 0)

Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, меньший 2, это a ∈ (-∞, -6) ∪ (0, +∞).