Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями f(x)=x²+2x+5 та y=5x+5​

Answer 1

Ответ и всё остальное на фото

Answer 2

Для знаходження площі фігури обмеженої лініями f(x) = x² + 2x + 5 та y = 5x + 5, спочатку знайдемо точки їх перетину, які визначають межі обмеженої області.

Поставимо f(x) = y і розв'яжемо рівняння, щоб знайти точки перетину:

x² + 2x + 5 = 5x + 5

Тепер приведемо усе в одну сторону рівняння:

x² + 2x - 5x = 5 - 5

Отримаємо:

x² - 3x = 0

Тепер факторизуємо:

x(x - 3) = 0

Звідси випливає, що x = 0 або x = 3. Тепер знайдемо відповідні значення y:

Для x = 0:

y = 5(0) + 5 = 5

Для x = 3:

y = 5(3) + 5 = 15 + 5 = 20

Отже, ми отримали дві точки перетину: (0, 5) і (3, 20). Тепер ми можемо знайти площу обмеженої фігури між цими двома кривими.

Площа обмеженої фігури дорівнює різниці між площею під кривою f(x) та під прямою y = 5x + 5, обчисленою від x = 0 до x = 3.

Площа під кривою f(x) від x = 0 до x = 3:

∫[0 to 3] (x² + 2x + 5) dx

Тепер знайдемо невизначений інтеграл функції f(x):

∫(x² + 2x + 5) dx = (1/3)x³ + x² + 5x + C

Підставимо верхню та нижню межі:

(1/3)(3)³ + (3)² + 5(3) - [(1/3)(0)³ + (0)² + 5(0)] (1/3)(27) + 9 + 15 - 0 9 + 9 + 15 = 33

Площа під прямою y = 5x + 5 від x = 0 до x = 3:

∫[0 to 3] (5x + 5) dx

Знову знайдемо невизначений інтеграл:

∫(5x + 5) dx = (5/2)x² + 5x + C

Підставимо верхню та нижню межі:

(5/2)(3)² + 5(3) - [(5/2)(0)² + 5(0)] (5/2)(9) + 15 - 0 (45/2) + 15 = 75/2

Тепер знаходимо площу фігури обмеженої цими кривими:

Площа = Площа під кривою f(x) - Площа під прямою y = 5x + 5 Площа = 33 - 75/2 Площа = (66 - 75)/2 Площа = -9/2 або -4.5 (одиниці площі, наприклад, квадратні одиниці).

Таким чином, площа фігури обмеженої кривими f(x) = x² + 2x + 5 та y = 5x + 5 дорівнює -4.5 квадратним одиницям.