Question

Знайдіть область визначення функції у=4/корінь5+4х-х²

Answer 1

$y = \frac{4}{ \sqrt{5 + 4x - {x}^{2} } }$

$5 + 4x - {x}^{2} > 0 \\ {x}^{2} - 4x - 5 < 0 \\ {x}^{2} - 4x - 5 = 0 \\ d = 16 + 20 = 36 \\ \sqrt{d} = 6$

$x_{1} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \\ x_{2} = \frac{4 - 6}{2} = - 1$

Методом интервалов : Хє (-1;5)

Е(у) = (-1;5)

Answer 2

Щоб знайти область визначення функції $у = \frac{4}{\sqrt{5+4х-х^2}}$, спростимо вираз у знаменнику.

Вираз $5+4х-х^2$ у знаменнику може викликати проблеми, оскільки функція під коренем має бути не менше нуля, щоб вона була дійсною.

Для того, щоб функція $у$ була визначена, вираз $5+4х-х^2$ має задовольняти умові $5+4х-х^2 \geq 0$.

Давайте знайдемо корені даного квадратного рівняння:

$5+4х-х^2 = 0$

Для знаходження коренів, використаємо квадратне рівняння: $ax^2 + bx + c = 0$, де $a = -1$, $b = 4$, $c = 5$.

Корені можна знайти за допомогою дискримінанту $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36$

Корені рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ знаходяться за формулою:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2(-1)}$

$x = \frac{-4 \pm 6}{-2}$

Таким чином, отримуємо два корені:

1. $x = \frac{-4 + 6}{-2} = -1$
2. $x = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$

Тепер, давайте зобразимо ці корені на числовій прямій:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & -\infty & -1 & 5 & +\infty \\ \hline 5+4х-х^2 & \text{(-)(-)(+)} & 0 & 0 & \text{(+)(+)(+)} \\ \hline \end{array}$$

З отриманих результатів бачимо, що вираз $5+4х-х^2$ менше нуля для $x \in (-\infty, -1)$ і для $x \in (5, +\infty)$, але дорівнює нулю для $x = -1$ і $x = 5$.

Оскільки ми не можемо ділити на нуль, то область визначення функції $у = \frac{4}{\sqrt{5+4х-х^2}}$ - це проміжок $(-1, 5)$, де вираз $5+4х-х^2$ не дорівнює нулю. Тобто, область визначення цієї функції: $D = (-1, 5)$.