Question

Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое при делении на 9 даёт остаток 6. Какое число задумали?Ответ запишите уравнением.

Answer 1

Ответ:

Признак делимости на 15 следует из признаков делимости на 3 и на 5:

1) если число оканчивается на 0 или 5 - оно делится на 5;

2) если сумма цифр в числе кратна 3 - число делится на 3.

Под эти два признака подходят числа:

15;  30;  45;  60;  75;  90...

Выберем число, которое при делении на 9 даёт в остатке 6:

155 : 9 = 17 (ост. 2)  -  не подходит

300 : 9 = 33 (ост. 3)  -  не подходит

455 : 9 = 50 (ост. 5)  -  не подходит

600 : 9 = 66 (ост. 6)  -  подходит

Ответ: задуманное число 60.

Answer 2

Пусть задуманное двузначное число состоит из цифр "а" и "b", где "а" - десятки, а "b" - единицы. Тогда это число можно записать как 10a + b.

Условие гласит, что это число делится на 15. Числа, которые делятся на 15, также делятся на 3 и 5. Поэтому, чтобы число делилось на 15, оно должно удовлетворять двум условиям:

1. a + b кратно 3.
2. b - последняя цифра числа - должно быть 5 или 0 (так как оно должно делиться на 5).

Теперь, когда к двузначному числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трехзначное число, которое при делении на 9 даёт остаток 6. То есть:

(100a + 10b + b) % 9 = 6

Упростим уравнение:

(100a + 11b) % 9 = 6

Мы знаем, что если число делится на 9, то сумма его цифр также должна делиться на 9. Поэтому:

(1 + 0 + 0 + a + 1 + 1 + b) % 9 = (2 + a + b) % 9 = 6

Теперь рассмотрим все возможные значения (a, b), которые удовлетворяют обоим условиям:

1. a + b кратно 3:

   • (a = 1, b = 2) => 1 + 2 = 3 (кратно 3)
   • (a = 2, b = 1) => 2 + 1 = 3 (кратно 3)
   • (a = 3, b = 0) => 3 + 0 = 3 (кратно 3)

2. b должно быть 5 или 0:

   • (a = 1, b = 2) => 2
   • (a = 2, b = 1) => 1
   • (a = 3, b = 0) => 0

Теперь, чтобы найти искомое число, используем a и b из условий выше. Итак, задуманное число равно 12.

Ответ: 12