Question

Помогите решить интеграл Интеграл x/(x^4+1)dx

Answer 1

Ответ:

dx^2/x^4+1

Пошаговое объяснение:

1. xdx/x^4+1

2.  x^1dx^1/x^4+1

3. x^1+1d/x^4 +1

4. x^2d/x^4+1

Не уверен что правильно

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

1. Разложим знаменатель на неприводимые множители: x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (sqrt(2) * x)^2 = (x^2 + sqrt(2) * x + 1)(x^2 - sqrt(2) * x + 1)

2. Разложим на простые дроби: x/(x^4 + 1) = A/(x^2 + sqrt(2) * x + 1) + B/(x^2 - sqrt(2) * x + 1)

3. Найдем значения A и B, умножив обе части уравнения на общий знаменатель: x = A(x^2 - sqrt(2) * x + 1) + B(x^2 + sqrt(2) * x + 1)

4. Подставим значения x, чтобы найти A и B: a) Положим x = 0: 0 = A(0^2 - sqrt(2) * 0 + 1) + B(0^2 + sqrt(2) * 0 + 1) 0 = A + B

   b) Положим x = sqrt(2): sqrt(2) = A(sqrt(2)^2 - sqrt(2) * sqrt(2) + 1) + B(sqrt(2)^2 + sqrt(2) * sqrt(2) + 1) sqrt(2) = A(2 - 2 + 1) + B(2 + 2 + 1) sqrt(2) = 3A + 5B

   Теперь решим систему уравнений:

   1. 0 = A + B
   2. sqrt(2) = 3A + 5B

   Из уравнения 1) находим B: B = -A

   Подставим B в уравнение 2): sqrt(2) = 3A + 5(-A) sqrt(2) = 3A - 5A sqrt(2) = -2A

   Теперь найдем A: A = -sqrt(2)/2

   И найдем B: B = -(-sqrt(2)/2) = sqrt(2)/2

Таким образом, разложение на простые дроби будет выглядеть следующим образом: x/(x^4 + 1) = (-sqrt(2)/2)/(x^2 + sqrt(2) * x + 1) + (sqrt(2)/2)/(x^2 - sqrt(2) * x + 1)

Теперь можем проинтегрировать каждую из простых дробей:

∫(-sqrt(2)/2)/(x^2 + sqrt(2) * x + 1) dx = (-sqrt(2)/2) ∫dx/(x^2 + sqrt(2) * x + 1)

Для этого интеграла мы можем сделать замену переменной u = x^2 + sqrt(2) * x + 1:

du = (2x + sqrt(2))dx dx = du / (2x + sqrt(2))

Подставим в интеграл:

(-sqrt(2)/2) ∫dx/(x^2 + sqrt(2) * x + 1) = (-sqrt(2)/2) ∫(du / (2x + sqrt(2))) / u

Здесь видим, что дифференциал переменной u сократится, и останется:

= (-sqrt(2)/2) * (1/2) ∫(1/u) du = (-sqrt(2)/4) * ln|u| + C

Теперь заменим обратно u на выражение с x:

= (-sqrt(2)/4) * ln|x^2 + sqrt(2) * x + 1| + C1

Аналогично, интегрируем вторую простую дробь:

∫(sqrt(2)/2)/(x^2 - sqrt(2) * x + 1) dx = (sqrt(2)/2) ∫dx/(x^2 - sqrt(2) * x + 1)

Для этого интеграла мы можем сделать замену переменной v = x^2 - sqrt(2) * x + 1:

dv = (2x - sqrt(2))dx dx = dv / (2x - sqrt(2))

Подставим в интеграл:

(sqrt(2)/2) ∫dx/(x^2 - sqrt(2) * x + 1) = (sqrt(2)/2) ∫(dv / (2x - sqrt(2))) / v

Здесь видим, что дифференциал переменной v сократится, и останется:

= (sqrt(2)/2) * (1/2) ∫(1/v) dv = (sqrt(2)/4) * ln|v| + C

Теперь заменим обратно v на выражение с x:

= (sqrt(2)/4) * ln|x^2 - sqrt(2) * x + 1| + C2

Таким образом, окончательное решение интеграла будет:

∫(x/(x^4 + 1)) dx = (-sqrt(2)/4) * ln|x^2 + sqrt(2) * x + 1| + (sqrt(2)/4) * ln|x^2 - sqrt(2) * x + 1| + C

где C = C1 + C2 - константа интегрирования.