Question

Найти неопределенный интеграл : ∫2ˣеˣ dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∫2ˣеˣ dx=∫(2е)ˣ dx=((2e)ˣ/ln(2e))+c=(2ˣеˣ/(1+ln2))+c

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫2ˣ * еˣ dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Для данного интеграла, давайте выберем:

u = 2ˣ (таким образом, du = d(2ˣ) = 2ˣ * ln(2) * dx), dv = еˣ (таким образом, v = ∫dv = еˣ).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫2ˣ * еˣ dx = u * v - ∫v * du = 2ˣ * еˣ - ∫еˣ * (2ˣ * ln(2) * dx) = 2ˣ * еˣ - 2ˣ * ln(2) * ∫еˣ dx.

Интеграл ∫еˣ dx равен еˣ + C, где C - произвольная постоянная интегрирования. Подставим это обратно в наш выражение:

∫2ˣ * еˣ dx = 2ˣ * еˣ - 2ˣ * ln(2) * (еˣ + C) = 2ˣ * еˣ - 2ˣ * ln(2) * еˣ - 2ˣ * ln(2) * C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫2ˣ * еˣ dx = (2ˣ - 2ˣ * ln(2)) * еˣ - 2ˣ * ln(2) * C + K,

где K - другая произвольная постоянная интегрирования.