Question

В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ:АВ = 1:2, а ВК:ВС = 4:5. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника МВК?

Answer 1

Из точек М и А опустим перпендикуляры на сторону ВС.

Это будут высоты соответственно треугольников МВК и АВС.

По уравнению площади треугольника S = (1/2)hBC.

Высота из точки А в 2 раза больше высоты из точки М.

Сторона ВС в (5/4) раз больше ВК.

Ответ: S(ABC) : S(BMK) = 2*(5/4) = 10/4 = 2,5.

Answer 2

Чтобы найти отношение площадей треугольников ABC и МВК, нам нужно выразить площади этих треугольников через соответствующие отношения длин их сторон.

Пусть S₁ - площадь треугольника ABC, а S₂ - площадь треугольника МВК.

Отношение площадей треугольников равно отношению квадратов соответствующих сторон.

Так как ВМ:АВ = 1:2, то МВ = 1/3 * АВ. Также, ВК:ВС = 4:5, то ВК = 4/9 * ВС.

Пусть h₁ - высота треугольника ABC, опущенная на сторону АВ, и h₂ - высота треугольника МВК, опущенная на сторону МВ.

Тогда, площадь треугольника ABC можно выразить через длину стороны АВ и высоту h₁: S₁ = 0.5 * АВ * h₁

Аналогично, площадь треугольника МВК можно выразить через длину стороны МВ и высоту h₂: S₂ = 0.5 * МВ * h₂

Так как МВ = 1/3 * АВ и ВК = 4/9 * ВС, то h₂ = 1/3 * h₁ (высота треугольника МВК также меньше высоты треугольника ABC в 3 раза).

Теперь мы можем выразить площадь треугольника МВК через сторону АВ и высоту h₁: S₂ = 0.5 * (1/3 * АВ) * (1/3 * h₁) = 1/18 * АВ * h₁

Теперь найдем отношение площадей треугольников ABC и МВК: S₁ / S₂ = (0.5 * АВ * h₁) / (1/18 * АВ * h₁) = 18 / 2 = 9

Таким образом, площадь треугольника ABC в 9 раз больше площади треугольника МВК.