Question

Y=-x^2+4x, y=x Вычисление площадей плоских фигур

Answer 1

x1 = -8.658448848095203e-23 y1 = -8.658448848095203e-23x2 = -2.030593856955691e-29 y2 = -2.030593856955691e-29x3 = -1.020847100832086e-25 y3 = -1.020847100832086e-25x4 = 3.0 y4 = 3.0

Answer 2

Для вычисления площадей плоских фигур, необходимо определить, какие фигуры представлены в уравнениях и какие части плоскости они ограничивают.

1. Функция y = -x^2 + 4x: Это уравнение представляет параболу. Для вычисления площади под кривой параболы, нужно определить пределы интегрирования по оси x.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью x: При y = 0: 0 = -x^2 + 4x x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 4.

Теперь интегрируем функцию от x = 0 до x = 4, чтобы найти площадь под кривой: Площадь = ∫[0, 4] (-x^2 + 4x) dx

Вычисляем интеграл: ∫ (-x^2 + 4x) dx = -(x^3)/3 + 2x^2 + C

Подставляем пределы интегрирования: Площадь = [-(4^3)/3 + 2(4)^2] - [-(0^3)/3 + 2(0)^2] = (-64/3 + 32) - (0) = -64/3 + 32 ≈ 10.67

Таким образом, площадь под кривой параболы y = -x^2 + 4x от x = 0 до x = 4 составляет приблизительно 10.67 квадратных единиц.

2. Функция y = x: Это уравнение представляет прямую, которая проходит через начало координат (0, 0) и образует угол 45 градусов с положительным направлением оси x.

Чтобы вычислить площадь, ограниченную этой прямой, мы должны знать пределы интегрирования. Если нам даны только уравнения функций, то площадь можно вычислить как модуль разности между функциями в точках их пересечения:

Площадь = |(-x^2 + 4x) - x|

Мы уже находили точки пересечения параболы и прямой: x = 0 и x = 4.

Вычисляем значения функций в этих точках: При x = 0: (-x^2 + 4x) - x = -(0^2) + 4(0) - 0 = 0

При x = 4: (-x^2 + 4x) - x = -(4^2) + 4(4) - 4 = -16 + 16 - 4 = -4

Таким образом, площадь, ограниченная параболой и прямой, составляет |0 - (-4)| = 4 квадратных единиц.

Итак, площадь между кривой y = -x^2 + 4x и прямой y = x от x = 0 до x = 4 равна 4 квадратных единиц.