Question

При каком значенииA уравнение |x²-2x-1|=A имеет три корня

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=|x^2-2x-1|$. Для построения графика нужно сначала построить параболу $y=x^2-2x-1$, ветви которой направлены вверх, координаты вершины параболы: (1;-2). После чего нижнюю часть графика симметрично отобразим в верхнюю часть, в результате получить график функции $y=|x^2-2x-1|$

y = A - прямая, параллельная оси абсцисс.

Видим, что при A = 2 графики пересекаются в трех точках, а значит уравнение имеет три корня.

Ответ: при A = 2.

Answer 2

Чтобы уравнение |x² - 2x - 1| = A имело три корня, необходимо, чтобы абсолютное значение выражения x² - 2x - 1 было равно A в трех различных точках. Абсолютное значение |x| равно |x| = x, если x >= 0, и |x| = -x, если x < 0.

Таким образом, у нашего уравнения есть два случая:

1. (x² - 2x - 1) = A, если x² - 2x - 1 >= 0 (так как у нас будет положительное значение A).
2. -(x² - 2x - 1) = A, если x² - 2x - 1 < 0 (так как у нас будет отрицательное значение A).

Давайте решим каждый из случаев:

1. (x² - 2x - 1) = A

Сначала найдем корни уравнения без модуля:

x² - 2x - 1 = 0

Применяем квадратное уравнение:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

x = (2 ± √8) / 2 = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2

Теперь, чтобы уравнение имело три корня, A должно быть таким, чтобы оно "выталкивало" два из этих корней за пределы области определения (то есть делало их отрицательными).

2. -(x² - 2x - 1) = A

-(x² - 2x - 1) = A

Теперь найдем корни этого уравнения:

x² - 2x - 1 = -A

Используем квадратное уравнение:

x = (2 ± √(4 + 4A)) / 2 = (2 ± 2√(1 + A)) / 2 = 1 ± √(1 + A)

Теперь, чтобы уравнение имело три корня, A должно быть таким, чтобы добавить к одному из корней из предыдущего случая еще один корень, возникающий из этого уравнения.

Итак, у нас будет три корня, если уравнение из первого случая (1 ± √2) будет "расширено" уравнением из второго случая (1 ± √(1 + A)), добавляя еще один корень к уже существующим двум.

Таким образом, нужно решить уравнение:

1 ± √2 = 1 ± √(1 + A)

Для плюсового знака:

1 + √2 = 1 + √(1 + A)

√2 = √(1 + A)

Возводим обе части в квадрат:

2 = 1 + A

A = 2 - 1

A = 1

Для минусового знака:

1 - √2 = 1 - √(1 + A)

-√2 = -√(1 + A)

Возводим обе части в квадрат:

2 = 1 + A

A = 2 - 1

A = 1

Таким образом, уравнение |x² - 2x - 1| = 1 имеет три корня.