Question

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M— середина ребра A1B1. Найдите угол между прямыми BMи CB1, если параллелепипед прямоугольный,AB=2BC и CC1:BC=4:3

Answer 1

Прямые BM и CB1 - скрещивающиеся.

Чтобы найти угол между ними, из точки М проведём отрезок МК, равный и параллельный заданному СВ1.

Получим треугольник ВМК, в котором угол ВМК и есть искомый угол.

Находим длины сторон этого треугольника.

Для этого примем параметры параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

СС1 = 4, ВС = 3, АВ = 2ВС = 2*3 = 6.

ВМ = √(4² + (6/2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

ВК = √(3² + (6/2)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

МК = √(4² +3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Находим косинус угла ВМК:

cos(ВМК) = (5² + 5² - (3√2)²)/(2*5*5) = 32/50 = 16/25.

∠ВМК = arc cos(16/25) = 0,8763 радиан или 50,2082 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами параллелепипеда и используем метод векторного анализа.

Поскольку параллелепипед прямоугольный, векторы AB и BC будут перпендикулярными. Также, по условию задачи, AB = 2BC. Пусть вектор AB будет обозначен как a, а вектор BC как b.

Так как точка M является серединой ребра A1B1, вектор AM будет равен половине вектора A1B1. Обозначим вектор AM как m. Таким образом, m = 0.5(A1B1).

Теперь найдем векторы BM и CB1. Вектор BM будет равен сумме векторов AB и AM (так как точка M - середина ребра A1B1). Из предыдущих обозначений, получаем BM = a + m.

Вектор CB1 можно найти, используя свойство пропорциональности соответствующих отрезков в параллелограмме ABCB1. Поскольку CC1:BC=4:3, то можно сказать, что вектор CB1 = 1/3(CC1) - 2/3(BC). Обозначим вектор CC1 как c1. Тогда CB1 = 1/3(c1) - 2/3(b).

Наконец, чтобы найти угол между векторами BM и CB1, можно использовать формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (BM · CB1) / (||BM|| ||CB1||),

где BM · CB1 представляет собой скалярное произведение векторов BM и CB1, а ||BM|| и ||CB1|| - их длины.

Теперь давайте подставим все значения в эту формулу и решим задачу:

1. Вычисляем векторы: a = AB b = BC m = 0.5(A1B1) c1 = CC1

2. Вычисляем векторы BM и CB1: BM = a + m CB1 = 1/3(c1) - 2/3(b)

3. Вычисляем скалярное произведение и длины векторов: BM · CB1 = (BM · CB1) ||BM|| = sqrt(BM · BM) ||CB1|| = sqrt(CB1 · CB1)

4. Вычисляем косинус угла θ: cos(θ) = (BM · CB1) / (||BM|| ||CB1||)

5. Находим значение угла θ: θ = arccos(cos(θ))

Таким образом, после подстановки всех значений и вычислений, мы найдем искомый угол между прямыми BM и CB1.