Question

Найдите экстремум функции: z=2xy-2x^2-y^2+2y+4

Answer 1

$\displaystyle\begin{cases}z'_x=2y-4x=0\\+\\z'_y=2x-2y+2=0\end{cases}\\-2x+2=0\\x=1\\y=2\\z''_{xx}=-4\\z''_{yy}=-2\\z''_{xy}=2\\\mathcal4=AC-B^2=8-4=4;A$

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции z = 2xy - 2x^2 - y^2 + 2y + 4, необходимо найти её частные производные по x и y, приравнять их к нулю и решить получившуюся систему уравнений.

Частная производная по x (при постоянном y): ∂z/∂x = 2y - 4x

Частная производная по y (при постоянном x): ∂z/∂y = 2x - 2y + 2

Приравниваем обе производные к нулю и решаем систему уравнений: 2y - 4x = 0 ...(1) 2x - 2y + 2 = 0 ...(2)

Из уравнения (2) выразим x: 2x = 2y - 2 x = y - 1 ...(3)

Подставим (3) в уравнение (1): 2y - 4(y - 1) = 0 2y - 4y + 4 = 0 -2y = -4 y = 2

Теперь найдём x, подставив значение y = 2 в уравнение (3): x = 2 - 1 x = 1

Таким образом, найдены значения x = 1 и y = 2, при которых частные производные равны нулю.

Чтобы убедиться, что это точка экстремума, можно проанализировать вторые частные производные. Найдём их:

Частная производная второго порядка по x: ∂^2z/∂x^2 = -4

Частная производная второго порядка по y: ∂^2z/∂y^2 = -2

Частная производная по x и y: ∂^2z/∂x∂y = 2

Теперь рассмотрим гессиан, составленный из вторых частных производных:

H = [[∂^2z/∂x^2, ∂^2z/∂x∂y], [∂^2z/∂x∂y, ∂^2z/∂y^2]] = [[-4, 2], [2, -2]]

Определитель гессиана: det(H) = (-4) * (-2) - 2 * 2 = 8 - 4 = 4

Гессиан является положительным, следовательно, найденная точка (1, 2) является точкой минимума функции z = 2xy - 2x^2 - y^2 + 2y + 4.