Question

Доказать что произведение трех последовательных чисел, меньше из которых является четным, делится на 24

Answer 1

Рассмотрим числа a, a+1, a+2. Поскольку a четно, то a+2 тоже четно. Более того, ровно одно из чисел a и a+2 делится на 4. Среди трех последовательных чисел обязательно найдется одно, кратное трем. Следовательно, a(a+1)(a+2) делится на 2*4*3=24

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим три последовательных числа: (n - 1), n и (n + 1), где n - целое число.

Мы знаем, что меньшее из этих трех чисел является четным. Это означает, что (n - 1) или (n + 1) является четным числом, а следовательно, n - нечетное число (так как четное число ±1 будет нечетным).

Теперь давайте рассмотрим все возможные случаи:

1. Если (n - 1) четное число, тогда n нечетное, и (n + 1) также четное число.

2. Если (n + 1) четное число, тогда n нечетное, и (n - 1) также четное число.

Теперь давайте рассмотрим произведение трех последовательных чисел: (n - 1) * n * (n + 1).

Учитывая, что n - нечетное число, то оно может быть представлено в виде n = 2k + 1, где k - целое число. Теперь мы можем записать произведение:

(n - 1) * n * (n + 1) = (2k + 1 - 1) * (2k + 1) * (2k + 1 + 1)

(n - 1) * n * (n + 1) = 2k * (2k + 1) * 2k

(n - 1) * n * (n + 1) = 4k^2 * (2k + 1)

Заметим, что 4k^2 * (2k + 1) - это произведение двух целых чисел. Один из них является 4k^2, что делится на 24 (4k^2 = 24 * k^2). Теперь нам нужно показать, что (2k + 1) также делится на 24.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если (2k + 1) четное число, тогда оно делится на 2, и, следовательно, делится на 24.

2. Если (2k + 1) нечетное число, тогда оно уже удовлетворяет условию "меньше из которых является четным".

Таким образом, мы показали, что произведение трех последовательных чисел, меньше из которых является четным, делится на 24.