Question

Пожалуста срочно помогите с вопросом по математике. Вычислить интегралы методом замены переменной интеграл x2(x3+9)в степени 3dx; Пожалустаааааа

Answer 1

$\int {x}^{2} {( {x}^{3} + 9) }^{3}dx$

Делаем замену переменной

$t = {x}^{3} + 9 \\ dt = d( {x}^{3} + 9) = ( {x}^{3} + 9)^{ \prime} dx = 3 {x}^{2}dx \\ {x}^{2}dx = \frac{dt}{3}$

Подставляем в интеграл

$\int {x}^{2} {( {x}^{3} + 9) }^{3}dx = \\ = \int{ {t}^{3}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int{ {t}^{3} }dt = \\ = \frac{1}{3} \frac{ {t}^{4} }{4} + c =\frac{ {( {x}^{3} + 9)}^{4} }{12} + c$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с вычислением этого интеграла.

Для решения данного интеграла с использованием метода замены переменной вам понадобится следующая замена: Пусть u = x^3 + 9. Тогда производная du/dx = 3x^2, откуда dx = du/(3x^2).

Теперь мы можем заменить переменную в нашем исходном интеграле. Выражение (x^3 + 9)^3 заменяем на u^3, а dx на du/(3x^2). Получаем новый интеграл:

∫x^2(x^3 + 9)^3 dx = ∫x^2 u^3 (du/(3x^2)).

Заметим, что x^2 и x^2 сокращаются, и у нас остается:

∫u^3 du/3.

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:

∫u^3 du/3 = (1/3) * (u^4/4) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ нашего интеграла будет:

(1/3) * (x^3 + 9)^4/4 + C.

Надеюсь, это поможет! Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, сообщите.