Question

Решить неравенства: ctg(3x\4+π\3) < 2; 0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

arc ctg2+пк<3x/4+п/3<п+пк,   arc ctg2-п/3<3x/4<п-п/3+пк,    домножим на  4/3,   4/3*(arc ctg2-п/3)<x<4/3*(2п/3+пк),  к  принадл.  Z

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно выразить переменную x. Начнем с того, что перенесем число 2 налево, чтобы получить неравенство вида ctg(3x/4 + π/3) - 2 < 0:

ctg(3x/4 + π/3) - 2 < 0

Затем, выразим ctg(3x/4 + π/3) через тангенс:

ctg(x) = 1 / tan(x)

ctg(3x/4 + π/3) = 1 / tan(3x/4 + π/3)

Теперь неравенство примет вид:

1 / tan(3x/4 + π/3) - 2 < 0

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны неравенства на tan(3x/4 + π/3):

tan(3x/4 + π/3) * [1 / tan(3x/4 + π/3) - 2] < 0

Оставшийся результат:

1 - 2tan(3x/4 + π/3) < 0

Теперь найдем интервалы, где данное неравенство будет выполняться. Сначала рассмотрим уравнение 1 - 2tan(3x/4 + π/3) = 0:

1 - 2tan(3x/4 + π/3) = 0 2tan(3x/4 + π/3) = 1 tan(3x/4 + π/3) = 1/2

Чтобы решить уравнение, вспомним значения тангенса для некоторых углов:

tan(π/6) = 1/√3, tan(π/4) = 1, tan(π/3) = √3

Так как tan(3x/4 + π/3) = 1/2, то у нас есть два возможных случая:

1. 3x/4 + π/3 = π/6

Решим первый случай:

3x/4 = π/6 - π/3 3x/4 = -π/6 x = -π/6 * 4/3 x = -π/2

2. 3x/4 + π/3 = -π/6

Решим второй случай:

3x/4 = -π/6 - π/3 3x/4 = -π/2 x = -π/2 * 4/3 x = -2π/3

Теперь, чтобы определить знак выражения 1 - 2tan(3x/4 + π/3) на различных интервалах, выберем произвольные значения внутри этих интервалов и проверим знак выражения.

Выберем x = 0:

1 - 2tan(3(0)/4 + π/3) = 1 - 2tan(π/3) = 1 - 2√3 < 0

Выберем x = -π:

1 - 2tan(3(-π)/4 + π/3) = 1 - 2tan(-π/4 + π/3) = 1 - 2tan(-π/12) = 1 + 2√3 > 0

Теперь можем собрать интервалы, где выполняется неравенство:

x ∈ (-∞, -2π/3) ∪ (-π/2, 0]

Ответ: x принадлежит интервалу (-∞, -2π/3) и (-π/2, 0].