Question

Докажите,что паралелограмм, у которого углы равны,а диагонали перпендикулярны,является квадратом

Answer 1

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны - ромб по свойству ромба. Его углы не равны. Хотя стороны одинаковы.

Если же у ромба углы равны по 90 гр, то этот ромб - квадрат по определению.

А углы по 90 гр. и у прямоугольника.

Вот если бы в условии было сказано про равенство сторон, то можно было бы дать другое определение квадрата - это прямоугольник с равными сторонами.

Answer 2

Для доказательства того, что параллелограмм с равными углами и перпендикулярными диагоналями является квадратом, мы можем использовать свойства квадратов.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, где угол A равен углу C, а угол B равен углу D. Пусть AC и BD - диагонали, и они перпендикулярны друг другу.

Для начала рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них есть две пары равных углов: угол A равен углу C (по условию) и угол BAC равен углу CDA (поскольку они соответственные углы при параллельных прямых AC и BD). Исходя из равенства углов, по теореме об углах в треугольнике мы можем сделать вывод, что треугольники ABC и CDA подобны.

Теперь рассмотрим отношение сторон треугольников ABC и CDA. Поскольку параллелограмм ABCD, стороны AB и CD параллельны и равны по длине, и стороны BC и DA также параллельны и равны по длине. Исходя из подобия треугольников ABC и CDA, мы можем сделать вывод, что отношение длин их сторон также равно.

Таким образом, AB = CD и BC = DA. Из этого следует, что все стороны параллелограмма равны между собой, что является свойством квадрата.

Кроме того, так как AC и BD являются диагоналями и они перпендикулярны, получаем, что параллелограмм ABCD - ромб, так как диагонали ромба всегда перпендикулярны друг другу.

Но поскольку углы ABCD также равны, получаем, что ромб с равными углами - это квадрат. Таким образом, параллелограмм с равными углами и перпендикулярными диагоналями является квадратом.