Question

Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно записали так: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и так далее. На каком месте оказалось число 996?

Answer 1

Ответ:

на 990

Пошаговое объяснение:

Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 – самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Никакое из выписанных цифр не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и однозначных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999, сумму цифр 26 – числа 998, 989 и 899, сумму цифр 25 – числа 997, 979, 799; 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990 месте.

Answer 2

Для решения этой задачи можно вычислить количество чисел с суммой цифр равной 1, 2, 3 и т.д. до тех пор, пока сумма цифр не превысит 996. Когда мы найдем группу чисел, в которой находится 996, мы также определим его место в этой группе.

Шаг 1: Посчитаем количество чисел с суммой цифр равной 1, 2, 3 и т.д.

1. Сумма цифр равна 1: Единственное число с суммой цифр равной 1 - это 1. Количество чисел с суммой цифр 1: 1

2. Сумма цифр равна 2: Числа с суммой цифр 2: 2, 11. Количество чисел с суммой цифр 2: 2

3. Сумма цифр равна 3: Числа с суммой цифр 3: 3, 12, 21. Количество чисел с суммой цифр 3: 3

4. Сумма цифр равна 4: Числа с суммой цифр 4: 4, 13, 22, 31. Количество чисел с суммой цифр 4: 4

5. Сумма цифр равна 5: Числа с суммой цифр 5: 5, 14, 23, 32, 41. Количество чисел с суммой цифр 5: 5

и так далее...

Шаг 2: Найдем, в какой группе чисел находится 996.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ... + n = n*(n+1)/2

Для определения n (сумма цифр, находящаяся перед 996) найдем такое n, чтобы выполнялось следующее:

n*(n+1)/2 <= 996 n*(n+1) <= 1992 n^2 + n - 1992 <= 0

Решим квадратное уравнение:

n = (-1 + √(1 + 411992)) / 2 n ≈ 44.32

Мы получили, что n ≈ 44.32. Так как мы ищем наименьшее целое n, то n = 44.

Шаг 3: Определим, на каком месте находится число 996 в группе чисел с суммой цифр, равной 44.

Мы уже знаем количество чисел с суммой цифр 44:

1 + 2 + 3 + ... + 43 + 44 = 44*45/2 = 990

Теперь осталось найти, какое место занимает число 996 в этой группе чисел с суммой цифр 44:

996 - 990 = 6

Число 996 занимает 6-е место в группе чисел с суммой цифр 44.

Итак, число 996 занимает 6-е место в последовательности.