Question

5.Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке. Сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем (также в порядке возрастания) — числа, сумма цифр которых равна 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д.. На каком месте оказалось число 996? Ответ Решение     6.Клетчатая доска 8×8 выложена плитками домино 1×2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат из четырёх клеток. Решение     7.Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нём цифры (запрещается лишь ставить ноль на первое место). Можно ли превратить число 1 в число 631 с помощью таких операций? Ответ Решение       8.При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 2012, но каждый один из них убивал другого на дуэли, причем герцоги убивали только графов, графы — только баронов, а бароны — только герцогов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов остался в живых лишь барон Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного? Ответ Решение

Answer 1

№5.

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, после числа 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26 и 27. Это 997, 979, 799, 988, 898, 889; 998, 989, 899; 999. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте.

 

 

№6Решение. Предположим, что никакие две доминошки не образуют квадрат из четырёх клеток. Попробуем выяснить, как расположены доминошки в этом случае. Будем считать, что в верхнем левом углу лежит горизонтальная доминошка. Тогда ниже неё лежит вертикальная доминошка (см. рисунок). Справа от этой доминошки тоже лежит горизонтальная доминошка, и так далее. Спускаясь таким образом по диагонали, дойдём до правого нижнего угла квадрата. Этот угол можно заполнить, только положив тужа две доминошки, которые будут образовывать квадрат. Значит, наше предположение было неверным. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

 

 

№7Решение. Вот одно из возможных решений: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 218 → 436 → 346 → 692 → 296 → 592 → 259 → 518 → 158 → 316 → 631. Попробуйте самостоятельно найти какое-нибудь другое решение.

 

 

 

№8Решение. Так как в конце концов остался жив барон (Б), то он мог сражаться только с герцогом (Г). Так как дуэль выигрывают только один раз, то этот барон больше ни в каких дуэлях не участвовал. А герцог до этого мог сражаться только с графом (Гр). Получаем цепочку Б → Г → Гр. Аналогично, граф мог сражаться только с бароном. Выписывая эту цепочку дальше, получаем: Б → Г → Гр → Б → Г → Гр → Б → Г → Гр → Б ... Поскольку 2012 = 3 · 670 + 2, в этой цепочке будет 670 комбинаций Б → Гр → Г, после которых в цепочке будут ещё двое придворных, а имеенно Б → Г. Таким образом, первый погибший придворный был герцогом (Г).

Answer 2

5. Найдем общее количество чисел от 1 до 1000, сумма цифр которых равна 1:
Числа, у которых сумма цифр равна 1: 1, 10, 100 - всего 3 числа
Числа, у которых сумма цифр равна 2: 2, 11, 20, 101, 110, 200 - всего 6 чисел
Числа, у которых сумма цифр равна 3: 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300 - всего 10 чисел
... и т.д.
Заметим, что количество чисел, у которых сумма цифр равна k, равно количеству сочетаний из k нулей и 3 единиц (мы делим k единиц на три триплета). Тогда общее количество чисел, у которых сумма цифр равна 1, 2, ..., 9, найдем по формуле:
C(3,3) + C(4,3) + C(5,3) + ... + C(12,3) = C(13,4)
(здесь C(m,n) - число сочетаний из m элементов по n)
Общее количество чисел от 1 до 1000 равно 1000.
Таким образом, число 996 стоит на месте 996 - (C(13,4) - 1000) = 996 - 714 = 282.

6. Разобьем доску на две половины - черные и белые клетки. Заметим, что каждая плитка домино покрывает ровно одну черную и одну белую клетки. Пусть мы расстаноим все плитки на доске, не образуя квадрата из четырех клеток - это означает, что каждый горизонтальный или вертикальный ряд плиток содержит ровно одну черную и одну белую клетки. Но в таком случае, количество черных и белых клеток на доске равно и, следовательно, у нас не может быть таких плиток домино, которые не остались бы свободными.

7. Решение невозможно, поскольку число 1 можно получить только из чисел 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 путем перестановки цифр, а все они имеют четное количество единиц в двоичной записи, а число 631 - нечетное количество единиц.

8. Посмотрим на последовательность титулов, которые каждый из придворных мог убивать на дуэли. Она должна выглядеть так:
Гера - граф - барон - гера - граф - барон - ...
Таким образом, каждый 3-й член последовательности был убит герцогом. Изначально герцогов было k, графов - 2012 - k - t, баронов - t, где t - это количество убитых на дуэли придворных. Для того, чтобы остался в живых только барон, должно выполняться условие t = k. Тогда графов останется 2012 - 2k. Убиение барона Апельсина произошло в третьей дуэли, так что первый погибший придворный был графом, убитым первым герцогом.