Question

Вероятность появления события А,равна 0,7 в каждом из 2000 независимых испытаний. Найти вероятность появления этого события не мене 1370 и не более 1400 раз.

Answer 1

Вероятность успеха в одном испытании p = 0.7, тогда q = 1-p = 0.3

Для больших n = 2000 воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.

$x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{1370-2000\cdot 0.7}{\sqrt{2000\cdot 0.7\cdot 0.3}}\approx -1.46\\ \\ \\ x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{1400-2000\cdot 0.7}{\sqrt{2000\cdot 0.7\cdot 0.3}}=0$

В дальнейшем скажу, что функция Лапласа Ф(х) - нечетная. Имеем

$P_{2000}(1370$

Ответ: 0,429.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть независимые испытания с фиксированным числом испытаний и вероятностью успеха (появления события А) в каждом испытании.

Для биномиального распределения, вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз в n испытаниях, задается следующей формулой:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:

• P(X=k) - вероятность того, что событие А произойдет k раз в n испытаниях.
• C(n, k) - количество сочетаний из n по k, вычисляется как n! / (k! * (n-k)!), где n! - факториал n.
• p - вероятность появления события А в одном испытании (в данном случае 0,7).
• k - количество раз, которое событие А произошло (от 1370 до 1400 в нашем случае).
• n - общее количество испытаний (в данном случае 2000).

Теперь давайте вычислим вероятность появления события А не менее 1370 и не более 1400 раз:

P(1370 <= X <= 1400) = P(X=1370) + P(X=1371) + ... + P(X=1400)

где "X" - случайная величина, означающая количество раз, когда событие А произошло в 2000 испытаниях.

Используем формулу биномиального распределения для вычисления каждого значения P(X=k) и сложим их:

pythonCopy code
def binomial_coefficient(n, k):
    # Функция для вычисления биномиального коэффициента C(n, k)
    from math import factorial
    return factorial(n) // (factorial(k) * factorial(n - k))

def binomial_probability(n, p, k):
    # Функция для вычисления вероятности P(X=k) для биномиального распределения
    return binomial_coefficient(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

p = 0.7  # Вероятность появления события А
n = 2000  # Общее количество испытаний

# Вычисляем вероятность для каждого k от 1370 до 1400
probability_sum = sum(binomial_probability(n, p, k) for k in range(1370, 1401))

print("Вероятность появления события А не менее 1370 и не более 1400 раз:", probability_sum)

Вычисленная вероятность будет ответом на задачу.