Question

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить чтобы получившаяся сумма была больше 465?

Answer 1

Нужно воспользоватся суммой арифметической прогрессии, где
$a_{1}=1 \\ d=1 \\ S_{n}\ \textgreater \ 465, \ n\ \textgreater \ 0 \\ \\ S_{n}= \frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n \\ \\ S_{n}= \frac{a_{1}+a_{1}+d(n-1)}{2}*n$
Теперь подставим числа для того что-бы увидеть неизвестное значение:
$S_{n}= \frac{2*1+1(n-1)}{2} *n \\ \\ S_{n}= \frac{1+n}{2} *n \\ \\ S_{n}= \frac{n+n^{2}}{2}$

Получим такое неравенство:
$\frac{n+n^{2}}{2}\ \textgreater \ 465 \\ \\ n+n^{2}-465*2\ \textgreater \ 0 \\ n^{2}+n-930=0 \\ D=1+930*4=3721, D\ \textgreater \ 0 \\ \\ n_{1}= \frac{-1+61}{2} =30 \\ n_{2}=  \frac{-1-61}{2} =-31$

(-∞;-31)∪(30;+∞), по условию n>0, значит промежуток (30;+∞) удовлетворяет неравенство.

Наименьшее натуральное число в промежутке - это 31.
Проверим:
$S_{31}= \frac{1+31}{2} *31=496 \\ \\ 496\ \textgreater \ 465$

Ответ: 31