Question

Решите логарифмическое неравенство: log2(5+x)≥log0,5(x−5)

Answer 1

ОДЗ: x>-5, x>5

x∈(5;+∞)

log2(5+x)≥-log2(x-5)

log2(5+x)≥log2(1/(x-5))

x+5≥1/(x-5)

(x²-25-1)/(x-5)≥0

(x²-26)/(x-5)≥0

[-√26;5)∪[√26;+∞), соответственно ОДЗ остается x∈[√26;+∞)

Answer 2

Для решения логарифмического неравенства, нужно выполнить несколько шагов. Пожалуйста, следуйте этим инструкциям:

1. Начнем с предположения, что оба логарифма имеют смысл, то есть выражения внутри логарифмов положительны: 5 + x > 0 и x - 5 > 0.

2. Применим свойство логарифма: log(a) ≥ log(b) равносильно a ≥ b.

3. Преобразуем данное уравнение, применив указанное свойство:

log₂(5 + x) ≥ log₀,₅(x - 5)

5 + x ≥ 0,5^(x - 5)

4. Теперь решим уравнение за логарифмом:

0,5^(x - 5) = 5 + x

5. Заметим, что 0,5^(x - 5) - это то же самое, что и 2^(x - 5) в знаменателе. Таким образом:

2^(x - 5) = 1 / (5 + x)

6. Поскольку левая сторона равенства содержит только положительные значения для любых значений x, а правая сторона также положительна в интервале x > -5, мы можем быть уверены, что знак неравенства останется прежним.

7. Решим уравнение 2^(x - 5) = 1 / (5 + x). Для этого возведем обе части уравнения в степень 2:

2^(x - 5) = 1 / (5 + x)

2^(x - 5) = 2^(-log₂(5 + x))

x - 5 = -log₂(5 + x)

8. Теперь избавимся от логарифма, применяя свойство логарифма: log(a) = b равносильно a = 2^b:

x = 5 - 2^(-log₂(5 + x))

9. Уравнение x = 5 - 2^(-log₂(5 + x)) не решается аналитически, и мы не можем получить точное значение x. Однако мы можем использовать численные методы для приближенного решения этого уравнения.

Таким образом, окончательное решение неравенства будет выглядеть приближенным числовым значением x. Если вам необходимо получить точное значение x, вы можете использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы приближенно найти корень уравнения.