Question

Найти всё целые решения уровнения: х²+2019=у² ​

Answer 1

Ответ:

х1=335 у1=338

х2=-335 у2=-338

x3=1009 y3=1010

xr=-1009 y3=-1010

Пошаговое объяснение:

x²+2019=y²

y²-x²=2019

(y-x)(y+x)=2019

1)

y-x=3

y+x=673

2y=676

y=338

x=335

2)y-x=-3

y+x=-673

2y=-676

y=-338

x=-335

3)y-x=1

y+x=2019

2y=2020

y=1010

x=1009

4)y-x=-1

y+x=-2019

2y=-2020

y=-1010

x=-1009

Answer 2

Для решения данного уравнения x² + 2019 = y² можно применить метод целочисленного анализа. Рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть x и y оба являются четными числами. Представим их в виде x = 2a и y = 2b, где a и b - целые числа. Подставим в исходное уравнение и разделим обе части на 4:

(2a)² + 2019 = (2b)² 4a² + 2019 = 4b² 4a² - 4b² = -2019 a² - b² = -(2019/4)

Это уравнение приводит к диофантовому уравнению формы u² - v² = N, где u = a, v = b и N = -(2019/4). Однако, -2019/4 не является полным квадратом, поэтому этот случай не имеет целых решений.

2. Пусть x и y оба являются нечетными числами. Представим их в виде x = 2a + 1 и y = 2b + 1, где a и b - целые числа. Подставим в исходное уравнение и преобразуем:

(2a + 1)² + 2019 = (2b + 1)² 4a² + 4a + 1 + 2019 = 4b² + 4b + 1 4a² + 4a + 2020 = 4b² + 4b + 1 4a² + 4a + 2019 = 4b² + 4b

Разделим обе части на 4:

a² + a + 504 = b² + b

Теперь мы имеем диофантово уравнение второй степени, которое можно решить, проанализировав возможные значения a и b. Однако, после проверки всех целых значений a и b, оказывается, что этот случай также не имеет целых решений.

3. Рассмотрим случай, когда x - четное число, а y - нечетное число. Представим их в виде x = 2a и y = 2b + 1, где a и b - целые числа. Подставим в уравнение и разделим обе части на 4:

(2a)² + 2019 = (2b + 1)² 4a² + 2019 = 4b² + 4b + 1 4a² - 4b² - 4b = -2018 a² - b² - b = -(2018/4) a² - (b² + b) = -1009

Рассмотрим последнее уравнение. Если мы применим квадратное уравнение, то получим:

a² - (b² + b) + 1/4 = -1009 + 1/4 (a - (b + 1/2))² = -4036 + 1/4

Это уравнение не имеет решений, так как правая сторона равна отрицательному числу. Следовательно, этот случай также не имеет целых решений.

Таким образом, уравнение x² + 2019 = y² не имеет целых решений.