Question

A^2+1/2>=a доказательство неравенств

Answer 1

Доказать, что

а^2+1/2 ≥ a.

Доказательство:

Первый способ:

Оценим разность:

(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;

Так как

(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и

(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.

Так как разность неотрицательна, то по определению

а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.

Неравенство доказано.

Второй способ:

а^2+1/2 ≥ a

а^2 - a + 1/2 ≥ 0

Рассмотрим функцию

у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.

Т.к. старший коэффициент равен 1, 1>0, то ветви параболы направлены вверх.

D = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то

функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому

у > 0 при всех значениях а,

а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.

Answer 2

Предположим, что у нас есть некоторое число a. Давайте докажем, что неравенство A^2 + 1/2 >= a выполняется для некоторого числа A.

1. Рассмотрим выражение A^2 + 1/2. Заметим, что квадрат любого числа является неотрицательным числом, поэтому A^2 >= 0 для любого числа A.

2. Таким образом, добавление положительного числа (1/2) к неотрицательному числу (A^2) не изменит его знака, то есть A^2 + 1/2 >= 0 для любого числа A.

3. Теперь рассмотрим случай, когда a >= 0. Если a >= 0, то мы можем выбрать A такое, что A^2 >= a. Например, можно взять A = sqrt(a).

   Поскольку A^2 >= a и A^2 + 1/2 >= A^2, мы получаем A^2 + 1/2 >= a.

4. В случае, если a < 0, мы можем выбрать A = 0. Поскольку A^2 + 1/2 = 0 + 1/2 = 1/2 > a, неравенство также выполняется.

Таким образом, мы показали, что неравенство A^2 + 1/2 >= a выполняется для любого числа A, когда a >= 0, и для A = 0, когда a < 0.