Question

Помагите пожалоста xydy=(x^2-y^2)dx​

Answer 1

Разделим обе части уравнения на dx и взяв факт того, что dy/dx=y', мы получаем: xyy' = x² - y²

Это дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u

ux² · (u'x + u) = x² - u²x²

х = 0 является корнем уравнения. Разделим теперь на x² последнее уравнение.

u(u'x + u) = 1 - u²

u'ux + u² = 1 - u²

u'ux = 1 - 2u²

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int\dfrac{udu}{1-2u^2}=\int\dfrac{dx}{x}~~~~\Leftrightarrow~~~-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{d(1-2u^2)}{1-2u^2}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ -\dfrac{1}{4}\ln\Big|1-2u^2\Big|=\ln\Big|x\Big|+\ln C\\ \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt[4]{1-2u^2}}=Cx$

Теперь выполним обратную замену.

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt[4]{1-2(\frac{y}{x})^2}}=Cx$ — общий интеграл.

Answer 2

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения мы можем использовать разделяющие переменные.

Начнем с переупорядочивания уравнения, чтобы разделить переменные:

xydy = (x^2 - y^2)dx

Теперь разделим переменные, переместив все y-термы на одну сторону и все x-термы на другую сторону:

y dy = (x^2 - y^2) dx / x

Далее, мы можем разделить обе стороны на (x^2 - y^2), чтобы получить:

y dy / (x^2 - y^2) = dx / x

Теперь введем замену переменных, пусть u = y/x. Тогда dy = u dx + x du.

Подставим это обратно в уравнение:

(u dx + x du) / (x^2 - (ux)^2) = dx / x

Теперь сократим dx с обеих сторон:

(u + x du) / (x^2 - (ux)^2) = 1 / x

Раскроем знаменатель:

(u + x du) / (x^2 - u^2 x^2) = 1 / x

Теперь умножим обе стороны на x:

(u + x du) = (x^2 - u^2 x^2)

Раскроем скобки:

u + x du = x^2 - u^2 x^2

Получим:

x du + u + u^2 x^2 = x^2

Теперь сгруппируем переменные:

x du + u + u^2 x^2 - x^2 = 0

x du + u (1 - u x^2) - x^2 = 0

Это уравнение можно попытаться решить путем применения различных методов, включая метод интегрирующего множителя или метод экспоненты.

Однако, следует отметить, что решение этого уравнения может быть достаточно сложным и требовать дополнительных методов или приближенных техник для получения явного решения.