Question

Роботы Ваня и Петя одновременно стали двигаться по кругу из одного места в разные стороны. Когда они встретились, Ваня преодолел дистанцию на 5 метров больше Пети. Через 9 секунд робот Ваня оказался в месте старта. Еще через 7 секунд в это место прибыл робот Петя. Найдите длину круга.

Answer 1

Ответ:

35 метров

Пошаговое объяснение:

Пусть длина круга равняется 2S метров(2S>5). Тогда до места встречи роботов Ваня преодолел дистанцию (S+2,5) метров, а Петя (S-2,5) метров. Через 9 секунд робот Ваня оказался в месте старта, т.е за это время он прошёл путь  (S-2,5) метров. Тогда его скорость равна  v₁=(S-2,5)/9. Аналогично находим скорость Пети v₂=(S+2,5)/16.

Находим время до первой встречи каждому роботу

t₁=(S-2,5)/(S+2,5)/16=16(S-2,5)/(S+2,5)

t₂=(S+2,5)/(S-2,5)/9=9(S+2,5)/(S-2,5)

t₁=t₂

16(S-2,5)/(S+2,5)=9(S+2,5)/(S-2,5)

16(S-2,5)(S-2,5)=9(S+2,5)/(S+2,5)

(4(S-2,5))²=(3(S+2,5))²

4(S-2,5)=±3(S+2,5)

1) 4(S-2,5)=-3(S+2,5)

4S-10=-3S-7,5

4S+3S=10-7,5

7S=2,5

2S=5/7<5

2) 4(S-2,5)=3(S+2,5)

4S-10=3S+7,5

4S-3S=10+7,5

S=17,5

2S=35

Answer 2

Пусть $x$ - длина круга. Так как Ваня и Петя встретились через 9 секунд, и Ваня преодолел дистанцию на 5 метров больше Пети, то Ваня за 9 секунд прошел $x + 5$ метров, а Петя прошел $x$ метров. Следовательно, их скорости составляют:

$V_{\text{Ваня}} = \frac{x + 5}{9} \quad \text{и} \quad V_{\text{Петя}} = \frac{x}{9}.$

Так как Ваня за 9 секунд вернулся в исходное место, его общее перемещение равно 0. Мы можем выразить общее перемещение каждого робота следующим образом:

$\text{Общее перемещение Ваня} = V_{\text{Ваня}} \cdot 9 = (x + 5),$ $\text{Общее перемещение Петя} = V_{\text{Петя}} \cdot 16 = x.$

Из этих двух уравнений можно получить систему уравнений:

\begin{align*} (x + 5) &= 0, \ x &= 16x. \end{align*}

Решая эту систему уравнений, мы можем найти длину круга:

$16x = x + 5 \implies 15x = 5 \implies x = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$

Таким образом, длина круга равна $\frac{1}{3}$ метра.