Question

Доказать, что если в равнобедренном тругольнике проведена биссектриса, то она и медиана и высота.

Answer 1

Возьмем треуг. АBC (B - вершина, BM - биссектриса)

1)угол ABM=угол MBC (по опр. биссек.)

AB=BC (т.к. р/б треугольник)

BM - общ. сторона, тогда треуг. ABM=треуг. BMC (по 1 признаку)

2) Т.к. треуг. равны и угол ABM=MBC , то AM=MC, значит BM- медиана (по опр.)

3)Т.к. треуг. равны и AB=BC, то угол AMB=BMC

4) угол AMB+BMC=180 градусов(т.к. смежные углы) и угол AMB=BMC, то AMB=BMC=90 градусов, значит, BM - высота

Answer 2

Ответ:

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)

Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть BD - биссектриса угла B, AM - медиана, где M - середина BC, и AH - высота, где H - точка пересечения высоты с основанием BC.

Доказательство:

Шаг 1: Докажем, что BD - медиана. Поскольку M - середина BC, то BM = MC. Также, по построению, угол BDM равен углу CDM, поскольку BD - биссектриса. Таким образом, треугольники BDM и CDM равны по двум сторонам и углу, следовательно, BD = CD и угол BMD = углу CMD. Следовательно, BD - медиана, проходящая через точку M.

Шаг 2: Докажем, что BD - высота. Поскольку угол BDM = углу CMD, а угол BDC = углу CDB (поскольку треугольник ABC равнобедренный), следовательно, треугольники BDM и CDM подобны. Это означает, что соотношение сторон BD/CD = BM/CM = 1/1 = 1. Так как BD = CD, получаем BD/CD = 1, что означает, что треугольник BCD является равносторонним. В равностороннем треугольнике высота совпадает с медианой и биссектрисой, поэтому BD - высота.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса BD треугольника ABC является и медианой и высотой.