Question

Lim x->oo (1+4/4x+1)^(2x-3) Хочу самопровериться. Возвожу в степени 4x+1 первую скобку и следом делю на нее. По второму замечательному пределу получаю e в степени 2x-3/4x+1 По правилу Лопеталя остается корень из е. Но если забить задание в калькулятор, то выдает е^2.

Answer 1

Скобки... где скобки...4-ку пропустили, вот и получается корень

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}(1+\frac{4}{4x+1})^{\displaystyle 2x-3}=1^\infty=[\lim_{x\to\infty}(1+\frac{4}{4x+1})^{\displaystyle\frac{4x+1}{4}}]_{\to e}^{\displaystyle \frac{4(2x-3)}{4x+1}}=\\=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{8x-12}{4x+1}}=e^{\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x(8-\frac{12}{x}_{\to0})}{x(4+\frac{1}{x}_{\to0})}}=e^2$

Answer 2

Давайте разберемся вместе в этом математическом выражении. Итак, у нас есть следующий предел:

lim(x->∞) (1 + 4/(4x + 1))^(2x - 3)

Чтобы упростить выражение, можно применить замечательный предел:

lim(x->∞) (1 + 1/n)^n = e,

где n - это любое число, стремящееся к бесконечности. В вашем случае, можно заметить, что 4x + 1 стремится к бесконечности при x -> ∞. Поэтому мы можем записать:

lim(x->∞) (1 + 4/(4x + 1))^(2x - 3) = lim(x->∞) [(1 + 1/(4x + 1))^((4x + 1)/(4x + 1))]^(2x - 3) = lim(x->∞) [(1 + 1/(4x + 1))^(4x + 1)]^((2x - 3)/(4x + 1)).

Теперь применяем замечательный предел:

lim(x->∞) [(1 + 1/(4x + 1))^(4x + 1)] = e,

и получаем:

lim(x->∞) (1 + 4/(4x + 1))^(2x - 3) = e^((2x - 3)/(4x + 1)).

Теперь давайте рассмотрим отношение показателей степени:

lim(x->∞) (2x - 3)/(4x + 1) = lim(x->∞) (2 - 3/x)/(4 + 1/x) = (2 - 0)/(4 + 0) = 2/4 = 1/2.

Таким образом, мы получаем:

lim(x->∞) (1 + 4/(4x + 1))^(2x - 3) = e^(1/2) = √e.

Таким образом, правильный ответ - корень квадратный из e, а не e^2. Возможно, в калькуляторе была допущена ошибка или неправильное округление.