Question

Исследовать функцию y=x+e^-x Помогите, пожалуйста! :(

Answer 1

Ответ:

Y=x/e^x

D(y)∈(-∞;∞)

y(-x)=-x*e^x ни четная,ни нечетная

y`=(e^x-xe^x)/e^2x=e^x(1-x)/e^2x=(1-x)/e^x=0

x-1=0

x=1

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию y = x + e^(-x).

Первым шагом является нахождение области определения функции. Так как функция содержит выражение e^(-x), она определена для всех действительных чисел x.

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности. Когда x стремится к плюс бесконечности (x -> +∞), экспоненциальная функция e^(-x) быстро убывает, и вклад в функцию y = x + e^(-x) от e^(-x) становится малозначимым. Поэтому, на бесконечности функция асимптотически приближается к y = x.

Аналогично, когда x стремится к минус бесконечности (x -> -∞), значение e^(-x) быстро увеличивается, и его вклад становится все более пренебрежимым. Таким образом, функция также асимптотически приближается к y = x при x -> -∞.

Теперь рассмотрим поведение функции в окрестности нуля. Когда x стремится к нулю (x -> 0), значение e^(-x) стремится к 1. Поэтому функция y = x + e^(-x) принимает значение 1 при x = 0.

Чтобы найти экстремумы функции (минимумы или максимумы), найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y = x + e^(-x) y' = 1 - e^(-x)

Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение:

1 - e^(-x) = 0 e^(-x) = 1 -x = ln(1) x = 0

Таким образом, мы получили, что единственная критическая точка функции находится при x = 0.

Для определения характера этой точки (минимум, максимум или перегиб), возьмем вторую производную функции:

y'' = e^(-x)

Подставим x = 0 во вторую производную:

y''(0) = e^(0) = 1

Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке x = 0 у функции есть локальный минимум.

Итак, кратко об исследовании функции y = x + e^(-x):

1. Область определения: все действительные числа.
2. Асимптоты: при x -> +∞ и x -> -∞ функция асимптотически приближается к y = x.
3. Поведение в окрестности нуля: функция принимает значение 1 при x = 0.
4. Экстремумы: у функции есть локальный минимум в точке x = 0.

Надеюсь, это поможет вам лучше понять данную функцию. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!