Question

Комплексные числа. Решите уравнение (1+2i)x+(3-5i)y=1-3i относительно действительных переменных x и y. Спасибо

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1+2i)x+(3-5i)y=1-3i

Два комплексных числа равны только тогда, когда их действительные и мнимые части равны, значит:

x+2xi+3y-5yi=1-3i

(x+3y)+(2x-5y)i=1-3i

x+3y=1, 2x-5y=-3

x=1-3y, 2(1-3y)-5y=-3

x=1-3y, 2-6y-5y=-3

x=1-3y, -11y=-3-2

x=1-3y, -11y=-5

y=5/11, x=1-3*5/11

y=5/11, x=1-15/11

y=5/11, x=-4/11

Ответ: (-4/11; 5/11)

Answer 2

Для решения данного уравнения относительно действительных переменных x и y, мы можем использовать метод сопряженных комплексных чисел.

Уравнение имеет вид: (1+2i)x + (3-5i)y = 1-3i

Разделим это уравнение на 1+2i, чтобы избавиться от x в выражении: x + ((3-5i)/(1+2i))y = (1-3i)/(1+2i)

Вычислим (3-5i)/(1+2i): (3-5i)/(1+2i) = ((3-5i)/(1+2i)) * ((1-2i)/(1-2i)) = (3-5i)(1-2i) / (1+2i)(1-2i) = (3-5i-6i+10i^2) / (1-4i^2) = (3-11i+10(-1)) / (1+4) = (-7-11i) / 5 = -7/5 - (11/5)i

Теперь заменим полученное значение в уравнении и решим относительно y: x + (-7/5 - (11/5)i)y = (1-3i)/(1+2i)

Умножим оба члена уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей: 5x - 7y - 11iy = 5(1-3i)/(1+2i)

Разделим числитель и знаменатель дроби на сопряженное комплексное число: 5x - 7y - 11iy = 5(1-3i)(1-2i)/(1+2i)(1-2i)

Упростим выражение: 5x - 7y - 11iy = 5(1-3i)(1-2i)/(1-4i^2) = 5(1-3i)(1-2i)/(1+4) = (1-3i)(1-2i) = 1-2i-3i+6i^2 = 1-2i-3i-6 = -5-5i

Теперь получаем: 5x - 7y - 11iy = -5-5i

Разделим оба члена на 5: x - (7/5)y - (11/5)iy = -1 - (1/5)i

Таким образом, получаем систему уравнений: x - (7/5)y = -1 -(11/5)i = -(1/5)i

Из второго уравнения видно, что коэффициенты перед мнимой единицей совпадают. Это означает, что y может быть любым действительным числом.

Теперь заменим y на произвольную действительную переменную t и решим первое уравнение относительно x:

x - (7/5)t = -1

Выразим x через t: x = -1 + (7/5)t

Таким образом, решение уравнения (1+2i)x + (3-5i)y = 1-3i относительно действительных переменных x и y будет иметь вид:

x = -1 + (7/5)t y = t

где t - произвольное действительное число.