Question

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0 построить график с кревой прямой y2 +x-4y+6=0, 3x+10=0.​

Answer 1

$y^2+x-4y+6=0\\ y^2-4y+4-4+x+6=0\\ (y-2)^2=-2-x$

Значит кривая - парабола с вершиной в точке (-2;2) с ветвями, направленными влево

$3x+10=0=>x=-\dfrac{10}{3}$

Точки пересечения:

$(y-2)^2=-2+\dfrac{10}{3}\\ (y-2)^2=\dfrac{4}{3}\\ |y-2|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ y_1=2+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:y_2=2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ (-3\dfrac{1}{3};2+\dfrac{2}{\sqrt{3}}),\:(-3\dfrac{1}{3};2-\dfrac{2}{\sqrt{3}})$

Answer 2

Дано уравнение кривой второго порядка: y^2 + x - 4y + 6 = 0. Для приведения его к каноническому виду и поиска точек пересечения с прямой Ах + Ву + С = 0, нам потребуется выполнить следующие шаги:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение в форме полного квадрата: y^2 - 4y = -x - 6.

2. Дополним выражение на левой стороне квадратом, добавив (4/2)^2 = 4: y^2 - 4y + 4 = -x - 6 + 4, (y - 2)^2 = -x - 2.

3. Теперь у нас есть каноническое уравнение кривой второго порядка: (y - 2)^2 = -x - 2.

4. Найдем точки пересечения с прямой 3x + 10 = 0: Подставим уравнение прямой в каноническое уравнение и решим систему уравнений: (y - 2)^2 = -(-3x - 10) - 2, (y - 2)^2 = 3x + 10 - 2, (y - 2)^2 = 3x + 8.

   Подставим 3x + 10 = 0: (y - 2)^2 = 0 + 8, (y - 2)^2 = 8, y - 2 = ±√8, y - 2 = ±2√2.

   Получаем две точки пересечения:

   1. y - 2 = 2√2, тогда y = 2 + 2√2.
   2. y - 2 = -2√2, тогда y = 2 - 2√2.

   Подставим значения y в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения x: Для y = 2 + 2√2: 3x + 10 = 0 => 3x = -10 => x = -10/3. Для y = 2 - 2√2: 3x + 10 = 0 => 3x = -10 => x = -10/3.

Таким образом, точки пересечения кривой и прямой равны (-10/3, 2 + 2√2) и (-10/3, 2 - 2√2).

Для построения графика воспользуемся этими точками пересечения.