Question

Найдите вид частного решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+5y’+6y=5x^2+5

Answer 1

Корни характеристического уравнения k² + 5k + 6 = 0:

k = -2

k = -3

Рассмотрим полином P(x) = 5x² + 5 ⇒ n = 2; α = 0, следовательно, частное решение ищем в виде: y* = Ax² + Bx + C

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' + 5y' + 6y = 5x^2 + 5, мы можем использовать метод вариации постоянных.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - постоянные, которые мы должны определить.

Теперь найдем первую и вторую производные этой функции:

y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

2A + 5(2Ax + B) + 6(Ax^2 + Bx + C) = 5x^2 + 5

Упростим это уравнение:

(6A)x^2 + (5B + 10A)x + (2A + 5B + 6C) = 5x^2 + 5

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

6A = 5 5B + 10A = 0 2A + 5B + 6C = 5

Из первого уравнения получаем:

A = 5/6

Подставим это значение во второе уравнение:

5B + 10(5/6) = 0 5B + 25/3 = 0 5B = -25/3 B = -5/3

Подставим значения A и B в третье уравнение:

2(5/6) + 5(-5/3) + 6C = 5/3 10/6 - 25/3 + 6C = 5/3 -15/6 + 6C = 5/3 6C = 5/3 + 15/6 6C = 10/6 + 15/6 6C = 25/6 C = 25/36

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y'' + 5y' + 6y = 5x^2 + 5 имеет вид:

y_p(x) = (5/6)x^2 - (5/3)x + 25/36