Question

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. Lim (√x-2) / ( 3x^2 -11x-4) x→ ∞

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-2 }{3x^{2} -11x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x^{2}} -\frac{2}{x^{2}} }{\frac{3x^{2}}{x^{2}} -\frac{11x}{x^{2}} +\frac{4}{x^{2}}} =$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x*\sqrt{x}} -\frac{2}{x^{2}} }{3 -\frac{11}{x} +\frac{4}{x^{2}}} =\frac{0-0}{3-0+0} =\frac{0}{3}=0$

Answer 2

Для нахождения указанного предела без использования правила Лопиталя, мы можем применить алгоритм деления многочленов. Давайте разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя √x - 2, мы можем умножить и разделить его на √x + 2, чтобы получить:

(√x - 2) = (√x - 2) * (√x + 2) / (√x + 2) = (x - 4) / (√x + 2)

Для знаменателя 3x^2 - 11x - 4, мы можем разложить его на два множителя:

3x^2 - 11x - 4 = (3x + 1)(x - 4)

Теперь мы можем переписать исходное выражение в виде:

lim(x→∞) [(√x - 2) / (3x^2 - 11x - 4)] = lim(x→∞) [(x - 4) / (√x + 2)] / [(3x + 1)(x - 4)]

Заметим, что (x - 4) в числителе и знаменателе сокращается:

lim(x→∞) [1 / (√x + 2)] / (3x + 1)

Теперь мы можем вычислить предел, подставив бесконечность вместо x:

lim(x→∞) [1 / (√x + 2)] / (3x + 1) = 1 / (∞ + 2) = 1 / ∞ = 0

Таким образом, предел (√x - 2) / (3x^2 - 11x - 4) при x, стремящемся к бесконечности, равен 0.